Surfaces K3 avec groupe d'automorphismes fini d'ordre maximal

Dans les années 80 Nikulin a classifié tous les groupes abéliens finis qui agissent symplectiquement sur une surface K3 et ses résultats ont inspiré une étude intensive des groupes d'automorphismes finis des surfaces K3. Mukai a montré que l'ordre maximal d'un groupe fini qui agit symplectiquement sur une surface K3, i.e. qui agit trivialement sur la 2-forme holomorphe, est 960 et que le groupe est isomorphe au groupe de Mathieu $M_{20}$. Ensuite Kondo a montré que l'ordre maximal d'un groupe fini quelconque qui agit sur une surface K3 est 3840 et que ce groupe contient le groupe de Mathieu avec indice quatre. Kondo a montré aussi qu'il y a une unique surface K3 qui admet l'action de ce groupe : il s'agit d'une surface de Kummer. Dans l'exposé je présenterai des résultats récents sur les groupes finis qui agissent sur une surface K3 et qui contiennent strictement le groupe de Mathieu. Je montrerai qu'il y a exactement trois groupes et trois surfaces K3 avec cette propriété. Il s'agit d'un travail en commun avec C. Bonnafé.