Bien que tout nombre complexe admette toujours au moins une racine carré, on sait qu’il est impossible de définir une fonction « racine carrée » qui soit continue sur C. Autrement dit, on ne peut pas trouver de fonction continue f telle que, pour tout z, f(z) est racine du polynôme t^2 - z = 0. Nous verrons que ce type de résultat se généralise dans le cadre des variétés algébriques affines complexes. Le but de cet exposé sera de présenter les bases de la géométrie algébrique avec, comme fil rouge, la démonstration de l’énoncé suivant :
Soit X une variété algébrique affine. On note X(C) l’ensemble algébrique associé à X dans C^n et C[X] l’anneau des fonctions polynomiales à valeur dans X(C). Soit f une fonction continue pour la topologie euclidienne sur X(C) telle qu’il existe un polynôme dans C[X][t] qui l’annule. Alors f est une fonction rationnelle.