En 1981, Polyakov dans un article fondateur propose une définition de la gravité quantique de Liouville qui peut se comprendre comme l'étude d'une notion de surface aléatoire. Cette théorie a connu de nombreux développements dans un premier temps dans la littérature physique mais aussi plus récemment au sein de la communauté mathématique, avec notamment des preuves rigoureuses de résultats prédits par la physique.
Dans cet exposé nous présenterons la formulation mathématique de la théorie de Liouville, basée sur une approche probabiliste, ainsi que les questions qui se posent dans l'étude de cette théorie. Nous évoquerons notamment les méthodes de théorie conforme des champs en dimension deux, et comment les appliquer à l'étude de la formulation mathématique de la théorie de Liouville.