Le flot de Bismut-Ricci et la géométrie kahlérienne généralisée

La notion d’une structure kahlérienne généralisée (GK) a été introduite au début des années 2000 par Hitchin et Gualtieri, dans le but de fournir un cadre mathématiquement rigoureux de certaines théories de modèles sigma non linéaires en physique. Depuis, le sujet a connu un développement rapide et on a compris, grâce aux travaux plus récents de Hitchin, Goto, Gualtieri, Bischoff et Zabzine, que les structures GK sont naturellement attachées aux variétés kahlériennes munies d’une structure de Poisson holomorphe. Inspiré par le programme de Calabi en géométrie kahlérienne, qui a pour but de trouver une métrique kahlérienne « canonique » associée à une variété projective polarisée, je présenterai dans cet exposé une approche vers une version « généralisée » du problème de Calabi, passant par un formalisme d’application moment en dimension infinie et utilisant la théorie de flot de Bismut-Ricci introduit par Streets et Tian. Comme application, nous donnons une description complète —conjecturée par D. Joyce— des structures GK sur le tore $T^{4n}$ muni d’une structure de Poisson holomorphe non-dégénérée. (Travaux en collaboration avec J. Streets et U. Ustinovskiy.)