Sur le champ de Teichmüller des quotients compacts de SL(2,C)

Soit Gamma un sous-groupe discret co-compact et sans torsion de SL(2,C). On sait, depuis les travaux de Ghys, que l'espace de Kuranishi du quotient de SL(2,C) par Gamma est donné par (le germe analytique de) la variété de représentation Hom(Gamma,SL(2,C)) pointée au morphisme trivial. L'idée est de déformer l'holonomie de la (SL(2,C)xSL(2,C), SL(2,C))-structure naturelle des quotients SL(2,C)/Gamma afin d'obtenir de nouvelles structures complexes. Depuis, les travaux de Kassel ont montré que l'ensemble des représentations qui sont l'holonomie d'une telle (G,X)-structure complète (dites admissibles), forme un ouvert de la variété de représentation. Après avoir rappelé les résultats de Ghys et ceux de Kassel, je m'intéresserai alors aux déformations des structures complexes des variétés obtenues par la construction de Ghys et montrerai qu'il existe un ouvert V dans la variété de représentation tel que la famille tautologique au dessus de V est complète en tous points. De plus, modulo conjugaison par SL(2,C), cette famille devient verselle. Ce résultat nous amène donc à considérer le champ quotient quotient de l'ouvert V par SL(2,C) et nous montrons qu'il forme un sous-champ ouvert dans le champ de Teichmüller de SL(2,C)/Gamma.