Inégalités d’observabilité pour des équations elliptiques avec potentiel en 2 D ; applications au contrôle

Je présenterai de nouvelles estimations d’observabilité pour des équations elliptiques non homogènes posées sur un domaine $\Omega$ en 2 D, avec observation sur un sous domaine $\omega$. Pour un potentiel $V$ borné à valeurs réelles, on démontre que le coût de l’observation de l’opérateur $-\Delta + V$ est de l’ordre de $\exp(\|V\|_\infty ^{1/2 + \epsilon})$. La méthode de preuve est inspirée d’un travail récent de Logunov, Malinnikova, Nadirashvili et Nazarov portant sur la conjecture de Landis. Je présenterai les trois grandes idées de la preuve : une construction de domaine perforé basée sur l’ensemble nodal de la solution pour se ramener à un domaine dont la constante de Poincaré est petite, une transformation quasi-conforme pour se ramener à une équation harmonique, et des estimations de Carleman conjuguées à des inégalités de Harnack. Enfin, je présenterai l’application de ces nouveaux résultats au contrôle d’équations elliptiques semi-linéaires, dans l’esprit des travaux de Fernandez-Cara et Zuazua concernant la contrôlabilité à zéro d’équations de la chaleur semi-linéaires. L’exposé sera basé sur un travail en commun avec Sylvain Ervedoza.