Stabilité des variétés riemanniennes fermées à constante de Kato petite

Une variété riemannienne à courbure de Ricci minorée vérifie plusieurs propriétés analytico-géométriques bien connues. Dans nos travaux récents avec Gilles Carron et Ilaria Mondello, nous travaillons sous une hypothèse strictement plus faible qu’une minoration de la courbure de Ricci: nous demandons que la partie négative du tenseur de Ricci soit contrôlée en un sens faible impliquant le noyau de la chaleur. Nous formalisons cette hypothèse à l’aide d’une quantité appelée constante de Kato. Je présenterai nos deux résultats concernant la stabilité des variétés fermées à constante de Kato petite et à premier nombre de Betti égal à la dimension. Le premier dit qu’une telle variété est Gromov-Hausdorff proche d’un tore plat. Le second dit que, sous une hypothèse de Kato plus forte, une telle variété est difféomorphe à un tore: ceci étend un résultat de Colding et Cheeger-Colding obtenu sous une hypothèse de courbure de Ricci minorée.