Nous nous intéressons ici aux équations de Schrödinger avec une non-linéarité cubique (NLS) dans $\mathbb{R}^d$. Après avoir rappelé la théorie de Cauchy probabiliste développée par Bényi, Oh et Pocovnicu en 2015 dans des régimes sur-critiques, nous précisons l'instabilité par « inflation de normes » qui se produit dans de tels régimes.
La deuxième partie est consacrée à la dynamique en temps long pour les solutions associées à ces données initiales aléatoires. Nous démontrons un résultat de scattering qui s'appuie sur une version probabiliste de la I-méthode et qui permet en outre de résoudre statistiquement la conjecture de scattering pour NLS en dimension 3.
Enfin, nous présentons des développements récents dans des régimes quasi-linéaires, qui ont été initiés par Bringmann en 2019 et que nous exploitons pour exhiber des solutions fortes à certaines équations faiblement dispersives. Ce dernier résultat est en collaboration avec Louise Gassot et Slim Ibrahim.