Rigidité en dynamique hamiltonienne réelle

Un système hamiltonien qui possède un point invariant elliptique non résonnant admet un invariant de conjugaison formel (au sens des séries formelles), sa forme normale de Birkhoff en ce point. Le système hamiltonien est ainsi formellement conjugué à sa forme normale de Birkhoff. Si cet invariant formel ainsi que la conjugaison formelle avaient une existence réelle cela aurait pour conséquence qu’au voisinage du point fixe toute orbite serait quasi-périodique, ce que l’on sait être faux depuis les travaux de Poincaré. Néanmoins, bien que formelle, cette forme normale de Birkhoff joue un rôle fondamental dans la compréhension de la dynamique du hamiltonien au voisinage du point fixe. Couplée à la théorie KAM (pour Kolmogorov, Arnold,Moser), elle permet de démontrer dans de nombreuses situations l’existence d’un ensemble de mesure positive de tores invariants quasi-périodiques au voisinage de l’équilibre. Une question naturelle est de comprendre dans quelle mesure la régularité analytique du hamiltonien renforce l’influence de la forme normale de Birkhoff sur la dynamique du système.