Résumé : Quelle est la longueur moyenne d'une corde du cercle unité ? Selon la méthode employée pour désigner une corde, on peut obtenir des réponses tout à fait différentes à cette question qui paraît pourtant simple. Ce phénomène, connu sous le nom de paradoxe de Bertrand, illustre le fait qu'il n'existe pas toujours de densité (ou mesure) canonique sur des ensembles d'objets géométriques, décourageant ainsi la recherche d'une réponse objective à cette question.
Cependant, selon le contexte dans lequel on étudie le problème, certaines densités peuvent avoir des propriétés d'uniformité qui les rendent préférables aux autres. La géométrie intégrale étudie ainsi les densités qui sont invariantes par des groupes de transformations agissant sur ces objets géométriques. Une fois ces mesures déterminées, on peut obtenir des formules intégrales reliant différentes propriétés de ces objets (le cas le plus connu étant sans doutes le problème de l'aiguille de Buffon).
Dans cet exposé, après avoir présenté une version simplifiée du paradoxe de Bertrand et fait quelques rappels accessibles sur les formes différentielles, nous étudierons le cas particulier de l'ensemble des droites affines du plan, où le groupe des transformations considérées sera celui des transformations affines, puis nous déduirons certaines formules de géométries intégrales (dont la surprenante formule de Cauchy-Crofton). Nous déterminerons enfin la solution au paradoxe de Bertrand apportée par la géométrie intégrale.