Module des différentielles

Pour tout objet x dans une catégorie C il est possible de définir la catégorie des modules de Beck au-dessus de x, comme la catégorie Ab(C/x) des objets en groupe abélien de la catégorie C/x. Nous pouvons en déduire, au moins pour toute catégorie localement présentable, la notion de module cotangent ou de module des différentielles Ω de x dans Ab(C/x). Dans le cas de la catégorie k-Alg des k-algèbres commutatives au-dessus d’un anneau k, la catégorie des modules de Beck Ab(k-Alg/A) au-dessus d’une k-algèbre A est équivalente à la catégorie A-Mod des A-modules et le module des différentielles est égal au module des différentielles de Kähler de A. Le but de cet exposé est de montrer pour toute catégorie localement présentable des résultats qui généralisent les propriétés classiques des modules des différentielles de Kähler.