Quatorzième problème de Hilbert et réductivité en puissance

Un problème de la théorie des invariants, auquel on réfère comme 14e problème de Hilbert, demande si les invariants d'une algèbre sous l'action d'un groupe sont de type fini dès que l'algèbre est elle-même de type finie. Sur un corps, on connaît ce résultat pour les groupes algébriques réductifs, comme le groupe linéaire GL_n. Une conjecture de Wilberd van der Kallen demande si ce résultat de finitude se généralise à toute la cohomologie, dont les invariants sont le degré zéro. Le cas des groupes finis sur un anneau quelconque fait partie d'un théorème de Leonard Evens (1961). Sur un corps, le résultat général est dû à van der Kallen et Antoine Touzé (2010). Van der Kallen vient de publier le cas des groupes algébriques finis sur un anneau quelconque, traitant un nouveau cas de sa conjecture. Ce résultat nous donne l'occasion de revenir sur la notion de "réductivité en puissance" qui joue un rôle dans ces développements depuis ma collaboration avec van der Kallen (2010), et sur son application à la théorie classique des invariants.