Cette présentation se focalisera principalement sur la réalisation d'espaces de fonctions homogènes sur des demi-espaces qui étend certaines approches établies sur l'espace entier et le demi-espace plat. La construction sur laquelle nous nous concentrons est particulièrement bien adaptée pour traiter les problèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires et/ou avec conditions au bord. Nous discuterons spécifiquement de l'interpolation de ces espaces, des résultats de trace et de la théorie des opérateurs adaptée pour atteindre des résultats de régularité maximale $\mathrm{L}^q$ tous globaux en temps, ainsi que de nombreuses autres variantes dans ce cadre, offrant une extension naturelle de certains résultats obtenus récemment par Danchin, Hieber, Mucha et Tolksdorf. Lorsque l'on considère le demi-espace plat, il est possible d'obtenir une décomposition de Hodge/Helmholtz pour les espaces de Besov homogènes avec des indices de régularité "suffisamment élevés", ce qui nous permet également de retrouver divers résultat de régularité maximale $\mathrm{L}^q$ global en temps, tel que, par exemple, un résultat $\mathrm{L}^1_t(\dot{\mathrm{B}}^{s}_{p,1})$, dont l'intérêt peut être central en mécanique des fluides visqueux.
Cette présentation contiendra une rapide introduction sur les principaux sujets à partir de leurs exemples fondamentaux : Espaces de Sobolev et Besov homogènes, Régularité Maximale $\mathrm{L}^q$ en temps, et la Décomposition de Hodge/Helmholtz par le Projecteur de Hodge-Leray (ou de Leray).