On considère l'équation de Schrödinger dépendant du temps $i\hbar \partial_t\psi = \hat{H} \psi$, $\hat{H}$ étant un opérateur (hamiltonien quantique) dans un espace de Hilbert ${\mathcal H}$.
Pour une particule sans spin $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V$ et ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3)$.
En présence d'un spin $\sf{s}\in{\mathbb N}/2$ l'espace de Hilbert devient ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^{2\sf{s}+1})$ et l'hamiltonien devient matriciel
$$ \hat{H}_{2\sf{s}+1} = ( -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V)\mathbb I_{\mathbb{C}^{2\sf{s}+1}} + \hbar\hat{C}\cdot S.$$
$\hat C=(\hat{C}_1, \hat{C}_2, \hat{C}_3)$ sont 3 opérateurs scalaires et $S=(S_1,S_2, S_3)$ 3 matrices hermitiennes de taille $2\sf{s}+1$ vérifiant les relations de commutation adaptées aux générateurs des rotations spatiales.
Pour une particule sans spin $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V$ et ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3)$.
En présence d'un spin $\sf{s}\in{\mathbb N}/2$ l'espace de Hilbert devient ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^{2\sf{s}+1})$ et l'hamiltonien devient matriciel
$$ \hat{H}_{2\sf{s}+1} = ( -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V)\mathbb I_{\mathbb{C}^{2\sf{s}+1}} + \hbar\hat{C}\cdot S.$$
$\hat C=(\hat{C}_1, \hat{C}_2, \hat{C}_3)$ sont 3 opérateurs scalaires et $S=(S_1,S_2, S_3)$ 3 matrices hermitiennes de taille $2\sf{s}+1$ vérifiant les relations de commutation adaptées aux générateurs des rotations spatiales.
En choisissant comme données initiales des états cohérents on montre qu'il y a deux régimes critiques suivant la taille de $\sf{s}$ :
$\sf{s}\approx \hbar^{-1/2}$ et $\sf{s}\approx \hbar^{-1}$.