Groupe de travail Statistiques et Géodésiques
Date :
du lundi 9 au vendredi 13 juin 2025
Lieu :
VVF Piriac-sur-Mer
Participants :
- Claire Brécheteau
- Maxime Boucher
- Blanche Buet
- Gilles Caron
- Elsa Cazelle
- Yann Chaubet
- Vincent Divol
- Frédéric Faure
- Ioana Gavra
- Adrien Laurent
- Alice Le Brigant
- Clément Levrard
- Gabriel Rivière
- David Tewodrose
- Thomas Verdebout
Financement :
Pulsar (Région Pays de Loire et Centrale Nantes) de Claire Brécheteau
Planning :
- Mardi 10 juin
15h - 16h30 Ioana Gavra ; Gilles Carron ; Clément Levrard
16h30 Pause
19h30 Dîner
- Mercredi 11 juin
9h00 - 10h30 Thomas Verdebout ; Elsa Cazelle ; Alice Le Brigant
10h30 Pause
11h15 - 12h15 Gabriel Rivière ; Adrien Laurent
12h30 Repas
16h30 Pause
19h30 Dîner
- Jeudi 12 juin
9h00 - 10h00 Maxime Boucher ; David Tewodrose
10h30 Pause
12h30 Repas
14h30 - 16h Claire Brécheteau ; Frédéric Faure ; Blanche Buet
16h30 Pause
19h30 Dîner
- vendredi 13 juin
9h - 10h Vincent Divol ; Yann Chaubet
10h30 Pause
12h Repas
Titres et Résumés :
Maxime Boucher
Tests d'iidness pour des données directionnelles
Dans cet exposé nous allons étudier un test d'iidness pour des données directionnelles. On parle de données directionnelles lorsque les observations sont sur l'hypersphère. On teste dans ce travail si l'échantillon est iid. Pour cela, on définit la statistique de runs directionnelles. On étudiera un modèle de dépendance sérielle à l'ordre 1 pour lequel la statistique de runs possède des propriétés d'optimalités locales et asymptotiques. On évoquera également un modèle de dépendance sérielle à l'ordre $K$ en considérent des mélanges de loi Von-Mises. On étudiera la puissance de ce test appuyé sur des simulations Monte Carlo. On appliquera également ce travail à la base de données des localisations des taches solaires, notamment en étudiant les longitudes des taches.
Claire Brécheteau
Statistical tests for uniformity and iidness on homogeneous spaces
I will introduce two families of statistical tests aiming at testing uniformity of samples of data points on homogeneous compact Polish spaces. Such tests are based on the computation of nearest neighbours distances, as in [1]. Such tests are consistent and come with parametric separation rates. I will show numerical results on the flat torus, the circle, the sphere, and a subset of the Poincaré disk. In particular, the tests will be compared to classical tests on the sphere and the circle [2].
[1] Brécheteau, A statistical test of isomorphism between metric-measure spaces using the distance-to-a-measure signature, 2019 [2] Garciá-Portugués Verdebout, An overview of uniformity tests on the hypersphere, 2018
Blanche Buet
Des varifolds multi-dimensionnels pour modéliser les surfaces discrètes
On propose de modéliser surfaces régulières et discrètes en s'appuyant sur la notion de varifold. Les varifolds ont été introduits par Almgren dans le cadre de l'étude des surfaces minimales. Les varifolds rectifiables à multiplicité entière fournissent un cadre adapté à l'étude de problèmes géométriques variationnels : il est possible d'associer une structure de varifold à des surfaces régulières mais également à des analogues discrets (surfaces triangulées ou encore nuages de points).
Cela permet d'avoir un cadre d'étude commun muni des outils provenant de la théorie des varifolds : une topologie et des distances permettant de comparer deux surfaces, y compris si l'une est régulière et l'autre discrète et également une notion distributionnelle de courbure moyenne. Ces ingrédients permettent, moyennant une étape de régularisation, de proposer une notion de courbure discrète possédant des propriétés de convergence vis-à-vis de la topologie des varifolds, typiquement valable lorsqu'une suite de surfaces discrètes approche une surface régulière.
En raison de leur souplesse, les varifolds sont adaptés à des représentations de surfaces "n'ayant pas la bonne dimension" comme des nuages de points (dimension 0) ou des représentations volumiques (dimension ambiante n), mais dans ces cas, la connaissance de la dimension d de l'objet sous-jacent est tout de même nécessaire. Cela est lié à la définition même de varifold qui fait intervenir la d-grassmannienne des sous-espaces vectoriels de dimension d de R^n.
On propose de s'affranchir de cette contrainte en plongeant les d-grassmanniennes (pour d = 1, ..., n) dans un espace commun et définir des varifolds multi-dimensionnels pour lesquels il existe encore une notion de courbure distributionnelle.
Gilles Carron
Rigidité du noyau de la chaleur euclidien
Je discuterai d'un théorème de rigidité démontré avec David Tewodrose (maintenant à Bruxelles).
Un espace métrique complet avec une mesure permettant de convoler des Gaussiennes comme sur un espace euclidien est en fait un espace euclidien.
Ce résultat s'accompagne assez naturellement d'un résultat de presque rigidité et je passerai la majeure partie de l'exposé à essayer de formuler un résultat "satisfaisant" de presque rigidité .
Elsa Cazelle
Principal component analysis in the Riemannian-like Wasserstein space : part one.
This talk is the first of a two-part presentation, in collaboration with Alice le Brigant. I will present different ways of conducting principal component analysis of datasets whose elements are probability distributions. For that purpose, I will consider the Riemannian-like structure of the space of probability distributions (with moments of order 2) endowed with the Wasserstein metric. The nice geometric properties (such as the existence of geodesics) of the Wasserstein space do not, however, allow applying classical statistical learning tools such as PCA for Hilbert spaces. Using techniques borrowed from Riemannian geometry or redefining projections are all tools to produce a meaningful second order statistical analysis of a dataset of probability measures. In this part, I will consider the one-dimensional case, and the linearization of the Wasserstein metric, corresponding to PCA in the tangent space.
Vincent Divol && Yann Chaubet
Spectral estimation of Laplace operators
Diffusion-based methods are widely used to construct spectral representations of data for tasks such as dimension reduction (e.g., LLE, Laplacian Eigenmaps, diffusion maps), regression, and spectral clustering. These methods typically rely on the top eigenvectors of a graph Laplacian, derived from a random walk over the dataset. As the number of observations increases, the spectrum of this discrete operator converges to that of a continuous Laplace operator.
Frédéric Faure
Propriété de mélange pour le produit direct de difféomorphismes ou flots d’Anosov
Nous étudierons la propriété de mélange pour une distribution produit dans le cadre du produit direct de n difféomorphismes (ou flots) d’Anosov. L’analyse s’appuie sur les résultats concernant les espaces de Sobolev anisotropes pour les dynamiques Anosov, et vise à établir un lien avec les travaux de Claire Brécheteau sur ce sujet.
Ioana Gavra
Recuit simulé pour des k-moyennes de Fréchet
On considère un graphe métrique G, muni d'une mesure de probabilité sur ses sommets et on s’intéresse au problème de k-means associé. Ceci étant un problème d'optimisation non-convexe, avec potentiellement des nombreux minima locaux, on propose de le résoudre en utilisant un algorithme d'optimisation globale, le recuit simulé. Dans un deuxième temps, nous verrons comment adapter cette méthode pour approcher les k centres d'un espace géodésique plus général.
Adrien Laurent
Intrinsic high order discretisations for sampling stochastic dynamics on Riemannian manifolds
In stochastic optimization, molecular dynamics, quantum physics, or in the training of neural networks, numerical experiments heavily rely on the efficient sampling from the law of Langevin type stochastic dynamics. Such dynamics are often subject to geometric constraints (fixed distance between particles, Physics Informed Neural Networks, ...). In this context, it is crucial to develop numerical approaches that take into account both the geometric and random features of the dynamics. The literature relies almost exclusively on extrinsic numerical integrators (that is, that rely on embeddings of the manifolds or coordinates). These solutions are costly, subject to significant time-step restrictions, and require formulation of the dynamics in spaces of much higher dimension. In this talk, we present a brand new class of methods that rely on intrinsic geometric operations only, together with a new robust convergence analysis. A second order integrator is presented and tested numerically for a handful of manifolds. This is joint work with Eugen Bronasco and Baptiste Huguet.
Alice Le Brigant
Principal component analysis in the Riemannian-like Wasserstein space : part two.
Following the talk by Elsa, I will focus on PCA on probability distributions with a sample space of dimension greater than one. I will present Otto-Wasserstein geometry, a Riemannian-like structure associated to the Wasserstein distance on probability distributions, and show how it can be used to perform geodesic PCA on a set of probability measures. I will first address the case of Gaussian distributions, and then the more general setting of absolutely continuous measures.
Clément Levrard
Inférence géométrique et quantification
Cet exposé tentera de fournir un panorama des questions que l'on se pose en inférence géométrique, et de ce que peuvent apporter les techniques de quantification vectorielle pour y répondre.
Gabriel Rivière
Fonctions propres du Laplacien et volume riemannien.
Etant donnée une variété riemannienne compacte, on peut associer une base orthonormée de fonctions propres du laplacien. A ces fonctions propres sont naturellement associées des mesures de probabilité dont on peut se demander dans quelle mesure elles ressemblent au volume riemannien sous-jacent. J'illustrerai ce problème dans le cas du tore euclidien en démontrant un théorème de convergence vers la mesure de Lebesgue remontant aux travaux de Shnirelman dans les années 1970. Si le temps le permet, je discuterai ce qui se passe dans des géométries plus compliquées.
David Tewodrose
Approximation gaussienne du laplacien sur les variétés à plis
Je présenterai un travail en cours avec Susovan Pal (VUB) dans lequel nous étudions le comportement en temps court de l’approximation gaussienne du laplacien sur une classe de variétés singulières que nous appelons variétés à plis. Cette classe comporte notamment les variétés à coins et d’autres exemples singuliers simples comme les pyramides.
Thomas Verdebout
Group invariance, weak identifiability and inference on signal directions
In this talk, we review some classical concept that are useful in Statistics such as group invariance and distribution-freeness. We then consider the problem of testing the null hypothesis that the mode of a directional signal is equal to a given value. The problem is tackled under asymptotic scenarios for which the signal strength goes to zero at an arbitrary rate. We study both the low and the high-dimensional problems. The Watson test is shown to be adaptively rate-consistent and essentially adaptively Le Cam optimal. To conclude, we provide several results for the corresponding two-sample problem.