Dans son article "Supersymmetry and Morse theory" (Journal Diff. Geom. 1982) Witten a donné une nouvelle preuve analytique des célebres inegalités de Morse. La preuve de Witten etant inspirée par la théorie quantique des champs, elle possède de nombreuses applications et généralisations, notamment dans sa variante holomorphe. En outre elle a été utilisée dans les annees '90 par Bismut et Zhang dans leur preuve du théorème de comparaison entre torsion analytique et torsion topologique pour les variétés lisses.
Le but de cet exposé est d'expliquer la généralisation de la déformation de Witten au cas des espaces singuliers a singularités coniques munis d'une fonction de Morse radiale et au cas des courbes complexes munis d'une fonction de Morse stratifiée au sens de Goresky/MacPherson. Dans les deux cas on obtient comme premier résultat des inégalités de Morse pour la cohomologie L2 et l'homologie d'intersection. Un résultat beaucoup plus fort est la généralisation de la comparaison entre le complexe de Witten et le complexe de Morse-Thom-Smale pour ces deux situations.
La première partie de cet exposé donnera une introduction aux méthodes de Witten dans le cas classique.
comments