Colorions les entiers (disons relatifs) en bleu, vert, rouge. Quels sont les motifs que l'on peut observer dans cette suite ? Difficile de répondre à cette question, elle est assez large pour y faire rentrer des pans entiers de mathématiques contemporaines. Ça en fait un bon point de départ pour un séminaire, non ?
Je n'aurai malheureusement pas le temps d'exposer tous ces aspects ; je me concentrerai sur les résultats issus de la théorie des systèmes dynamiques (je vous encourage à aller regarder vous-même du côté de la théorie ergodique), et prouverai entre autres le théorème de Van der Waerden : pour tout coloriage avec un nombre fini de couleurs, il existe au moins une couleur contenant des suites arithmétiques arbitrairement longues. Ce résultat sympathique mais qui ne paie pas de mine est à la base du théorème de Green-Tao [2004] : les entiers premiers contiennent des suites arithmétiques arbitrairement longues. Et ça mes amis, c'est ce que l'on appelle de belles mathématiques.
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