Théorie spectrale, scattering et résonances

L'étude de la distribution des résonances dans le plan complexe pour le problème de transmission décrivant la propagation des ondes acoustiques dans deux milieux différents a fait l'objet de plusieurs publications. Soit ${O}\subset{\bf R}^n$, $n\ge 2$, un domaine borné, connexe, strictement convexe, à bord $C^\infty$ tel que le complément $\Omega={\bf R}^n \setminus{ O}$ soit connexe. Une onde acoustique qui se propage dans $\Omega$ à vitesse 1 et dans ${ O}$ à vitesse $c\neq 1$ est gouvernée par l'équation des ondes avec des conditions de transmission au bord. Suivant le signe de $c-1$, l'existence ou la non-existence des résonances sont obtenues grâce à une analyse fine de la propagation des ondes. (1). Lorsque $c<1$, les rayons à l'intérieur dont l'angle de réflexion au bord est assez petite se retrouvent dans la zone d'ombre (la zone elliptique) pour le problème extérieur. Ces rayons captés à l'intérieur de $O$ sont dits rayons de réflexion totale intérieure. Dans ce cas, G.Popov et G. Vodev ([11]) ont montré l'existence des résonances très près de l'axe réel. Dans [53], les auteurs obtiennent la formule de distribution asymptique des résonances dans le cas $c<1$. (2) Quand $c>1$, on a le phénomène opposé, à savoire que les rayons à l'extérieur dont l'angle de réflexion au bord est assez petite (ces rayons sont proches de la zone de difraction) se retrouvent dans la zone d'ombre (la zone elliptique) pour le problème intérieur, et donc ils ne peuvent pas entrer dans l'obstacle. Ces rayons sont dits rayons de réflexion totale extérieure. Dans ce cas, F. Cardoso, G. Popov et G. Vodev ont montré dans [13] que la résolvante tronquée admet une estimation similaire à la résolvante libre et en ont déduit qu'il existe une bande sans résonance.

Dans [31] G. Vodev a obtenu une estimation exponentielle en énergie pour la résolvante du laplacien riemannien dans le complémentaire d'un obstacle, et dans [72,73] pour la résolvante de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur des variétés riemanniennes de volume infini. Ces résultats donnent naturellement des informations sur la localisation des résonances et généralisent des résultats récents de N. Burq.

Les formules de trace sont l'objet des travaux [6,14]. Elles relient le spectre quantique aux orbites périodiques du système quantique correspondant. Dans [6] AM. Charbonnel et G. Popov établissent une formule de trace semiclassique pour un système d'opérateurs qui commutent. Dans [14] les auteurs donnent une nouvelle preuve de la formule de trace de Gutzwiller en utilisant une analyse basée sur la décomposition en états cohérents gaussiens au lieu de l'approche habituelle par les opérateurs intégraux de Fourier, techniquement plus délicate.

D. Robert poursuit ses travaux sur étude de la phase de diffusion (fonction spectrale de perturbation). Dans [16] (collaboration avec V. Bruneau) il a obtenu des développements asymptotiques à grande énergie et en régime non relativiste pour des opérateurs de Dirac perturbés. Dans [48] Il obtient pour l'opérateur de Dirac des identités de trace contenant en particulier le théorème de Levinson.

J. Barbe [33] a établi une formule asymptotique du type Weyl pour les valeurs propres d'une classe générale d'hamiltoniens hypoelliptiques au voisinage de la borne inférieure du spectre essentiel.

P. Bolley et Pham The Lai [36] établissent des théorèmes d'indice dans les espaces de Hölder pour le problème extérieur avec conditions de Dirichlet et obtiennent dans [37] une représentation des solutions pour le même type de problème.

A. Morame continue à étudier le spectre de l'opérateur de Schrödinger ([24,25]). Il s'intéresse aussi à des problèmes mathématiques de la supra-conductivité. Dans [41,58,104], B. Helffer et A.Morame étudient le niveau d'énergie fondamental de l'équation linéarisée de Ginsburg-Landau sur un ouvert. Ils démontrent la concentration d'énergie sur le bord pour l'état fondamental dans les régimes des champs magnétiques intenses ou critiques. Dans le cas bi-dimensionnel, ils montrent que l'énergie est localisée au point du bord où la courbure scalaire atteint le maximum. Ces résultats de localisation confirment et précisent des phénomènes connus des physiens.

Dans [55], X. P. Wang (collaboration avec T. Jecko et M. Klein) prouve la finitude de la section efficace totale pour la collision ion-atome avec des interactions coulombiennes dans le cas où il n'y a pas de moment dipolaire pour l'atome. Ils obtiennent aussi l'asymptotique de la section efficace totale dans l'approximation de Born-Oppenheimer.