Séminaire des doctorants (archives)

Dans une première partie, je vous présenterai le modèle HMF Poisson (Hamiltonian mean field model) et expliquerai dans quel contexte, il apparaît. Je définirai ensuite la notion de stabilité orbitale. Puis dans un second temps, je démontrerai la stabilité orbitale des états stationnaires qui sont solutions d’un problème de minimisation à une contrainte. Pour finir, j’expliquerai comment il est possible de démontrer la stabilité orbitale d’une classe plus grande d’états stationnaires.

On s'intéressera aux notions d'homologie et de cohomologie, à travers quelques exemples simples et un historique depuis l'"analys situs" de Poincaré jusqu'à notre ère.

L'équation de Korteweg-de Vries (KdV) et le système abcd sont deux modèles hydrodynamiques dispersifs pouvant modéliser le mouvement des vagues de faible amplitude en eaux peu profondes. Nous proposons un schéma numérique aux différences finies afin de discrétiser ces deux modèles et étudions sa convergence par une analyse de stabilité $\ell^2$ et d'erreur de consistance. L'ordre de convergence est quantifié par rapport à la régularité de Sobolev de la donnée initiale.

L'exposé présentera quelques photographies en gros plan de courbes holomorphes dans leur milieu naturel. L'occasion de se poser à leur sujet quelques questions métaphysiques : d'où viennent-elles ? quel est le but de leur existence ? que deviennent-elles après leur mort ? Les réponses nous conduiront à aborder deux notions clé : celles de compacité et de transversalité.

On commencera par rappeler des propriétés de base sur la stabilité des systèmes hyperboliques à coefficients constants. Les critères de stabilité obtenus par Kreiss dans les années 1970 sont les fondements de l'étude du caractère bien posé des systèmes hyperboliques. On traitera un exemple issu de la MHD : nous verrons comment appliquer les outils introduits dans le cas général pour étudier la stabilité des nappes de tourbillon-courant incompressibles.

A travers un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées, nous étudierons différents types de comportements non linéaires que l'on peut obtenir en EDP. Nous verrons comment le choix de l'espace des positions influe sur le type de résultat obtenu et sur la méthode employée.

Dans cet exposé, nous parlerons de sous-variétés legendriennes dans des variétés de contact. On peut se demander : étant données deux sous-variétés legendriennes, sont-elles isotopes ? sont-elles concordantes ? ou sont-elles reliées par un cobordisme lagrangien ? Nous définirons ces termes et verrons plusieurs résultats autour de ces différentes relations.

On commencera par introduire les espace hyperboliques au sens de Gromov. On s'intéressera essentiellement à deux exemples: les variétés différentielles hyperboliques et les arbres.

Après un bref exposé des isométries de ces espaces, on étudiera le comportement asymptotique des marches aléatoires dans les espace Gromov-hyperboliques: transience et convergence au bord.

Les martingales locales forment une classe de processus fondamentale en probabilités. Sur un espace vectoriel elles sont régies par une propriété d’espérance conditionnelle. Je commencerai donc par définir la notion de martingale sur une variété différentiable : comme pour les géodésiques, on supposera la variété munie d’une connexion linéaire. Une fois ce type d’objet bien défini on s’intéressera au problème suivant : une variable aléatoire étant fixée, peut-on trouver une martingale qui a pour valeur terminale cette variable aléatoire ? Si oui, est-elle unique ?