Séminaire des doctorants (archives)

Ce séminaire sera décomposé en deux parties indépendantes. Dans la première nous nous intéresserons aux liens qu'il peut y avoir entre mécanique quantique et mécanique classique, et notamment comment passer de l'une à l'autre lorsque l'on change l’échelle d'étude d'un problème. Dans la deuxième partie, nous étudierons un problème à première vue purement mathématique : les liens entre groupes et algèbres de Lie.

Cet exposé sera développé autour d'un théorème de Dirichlet en approximation diophantienne. Il répond à la question de l'approximation d'un irrationnel par une suite de rationnels et ce à l'ordre deux. Nous verrons comment la preuve de ce théorème peut être reliée avec certaines propriétés de la géométrie hyperbolique, puis, si le temps le permet, nous constaterons qu'il est difficile de faire mieux en terme d'ordre d'approximation!

La masse ADM, concept issu de la relativité générale, est un invariant géométrique de certaines variétés riemanniennes. Ses propriétés, dont nous parlerons lors de cet exposé, ont joué un rôle crucial dans la résolution du problème de Yamabe et l'introduction subséquente de l'invariant différentiel sigma par R. Schoen. Nous verrons ensuite comment une construction due à L. Habermann et J. Jost et utilisant la masse ADM permet de définir un invariant complémentaire à sigma.

In this work we focus on explicit finite volume schemes for systems of conservations laws in two dimensions with stiff source terms. Such systems may degenerate into diffusion equations. It is a major numerical challenge to follow this degeneracy. We propose a general framework to design an asymptotic preserving scheme, that is stable and consistent under a classical hyperbolic CFL condition in both hyperbolic and diffusive regime, for any two-dimensional unstructured mesh. Moreover, the scheme developed also preserves the set of admissible states, which is mandatory to keep physical solutions in stiff configurations.

On s’intéressera à la théorie spectrale des opérateurs non-autoadjoints et notamment au lien avec les semi-groupes. On verra que le spectre n'est pas la bonne notion pour étudier de tels opérateurs et on introduira la notion de pseudo-spectre.

Depuis 40 ans, le problème du comportement asymptotique des petites solutions des EDP non linéaires est traitée de manière extensive par beaucoup d'auteurs. Presque toute la littérature sur le sujet a pour but de montrer que les solutions des EDP non linéaires, pour des petites données initiales, se comportent asymptotiquement comme les solutions des problèmes linéaires associés. Mettre en évidence des dynamiques réellement non linéaires est une tâche souvent très difficile.

Le but sera de donner une introduction en douceur des bases de mécanique Hamiltonienne. Après quelques rappels de géométrie symplectique élémentaire, nous verrons comment définir un système Hamiltonien. On énoncera alors le théorème d'Arnold Liouville qui justifie presque à lui seul l'intérêt de rechercher des systèmes intégrables. Ensuite nous verrons comment ramener l'étude du flot géodésique sur une variété à un problème de système Hamiltonien. On donnera enfin, quelques exemples de systèmes géodésiques intégrables puis verrons quels types d'obstructions il peut y avoir à ce qu'un système soit intégrable.

Dans cet exposé on décrira un invariant de sous-variétés legendriennes, l'homologie de contact legendrienne, définie en associant à une sous-variété legendrienne L une algèbre différentielle graduée, l'algèbre de Chekanov, engendrée par les cordes de Reeb de L. En dimension 3, la théorie est entièrement combinatoire et dans ce cas là on donnera des idées de la preuve de l'invariance par isotopie legendrienne de cette homologie. Une version linéarisée fournit ensuite un invariant plus calculable, qui a permis à Chekanov de mettre en évidence l'exemple de deux nœuds legendriens de mêmes invariants classiques qui ne sont pour autant pas isotopes. En fonction du temps on verra comment se généralisent ces notions en dimension plus grande que 3.