Séminaire des doctorants (archives)

Après avoir rappelé les notions de structures de contact, de nœuds legendriens et transverses, on s'intéressera aux problèmes de finitude des nœuds.

Dans un premier temps, on regardera les relations entre nœuds legendriens, nœuds transverses et structures de contact. Dans un second temps, on verra comment ces liens impliquent, dans certains cas, la finitude ou l'engendrement.

Si $\varphi$ est une fonction qui stabilise un ensemble (le disque unité D, le segment [0,1],..) on peut définir l'opération linéaire de composition par $\varphi$ : $f\mapsto f\circ\varphi$ sur un espace de fonctions (sur D, [0,1],..). On va voir comment des critères géométriques sur $\varphi$ peuvent influer sur la continuité, ou la compacité de l'opérateur de composition, en particulier dans les espaces de Hardy et de Müntz.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à un type particulier d’équations issues de la physique mathématique dont l’équation de Schrödinger à potentiel quasi-périodique constitue un exemple important. Parmi les solutions d'un tel système, nous étudierons l’existence de solutions réductibles, qui, via une conjugaison bien choisie, se ramènent à un système constant. Contrairement au cas périodique - synthétisé par le théorème de Floquet - où toute solution est réductible, le cas quasi-périodique est beaucoup plus riche de possibilités. En particulier, dans un cadre perturbatif et antisymétrique, on peut, via un jeu sur les résonances, aboutir à des situations paradoxales. Par exemple, nous verrons que les systèmes sont “typiquement” : • pour le probabiliste, réductibles avec une dynamique “localisée”; • pour le topologue, uniquement ergodiques avec une dynamique fortement “diffusante”. Cet exposé permettra d’aborder quelques points de théorie K.A.M à l’aide d’outils basiques d’analyse et d’algèbre linéaire. Mots clefs: Physique-mathématique, Système dynamique, Théorie K.A.M, Opérateur de Schrödinger, Produit-croisées, Résonances, Petits diviseurs.

Le but de l'exposé est de présenter un théorème KAM en dimension infinie. On considéra un hamiltonien sous normale dont la partie quadratique admet des valeurs propres multiples mais d'ordre fini. On appliquera après ce théorème KAM à l'équation des ondes cubique sur le cercle.

On considère l'équation des ondes non linéaire perturbée par une force aléatoire régulière en espace du type bruit blanc. Il est connu que cette équation engendre un processus de Markov qui possède une unique mesure stationnaire. Notre but est de décrire le comportement asymptotique de la famille de ces mesures lorsque l'amplitude du bruit tend vers zéro. On montrera, en particulier, qu'il existe une fonction à niveau compact qui décrit précisément ces asymptotiques.

Ce séminaire sera décomposé en deux parties indépendantes. Dans la première nous nous intéresserons aux liens qu'il peut y avoir entre mécanique quantique et mécanique classique, et notamment comment passer de l'une à l'autre lorsque l'on change l’échelle d'étude d'un problème. Dans la deuxième partie, nous étudierons un problème à première vue purement mathématique : les liens entre groupes et algèbres de Lie.

Cet exposé sera développé autour d'un théorème de Dirichlet en approximation diophantienne. Il répond à la question de l'approximation d'un irrationnel par une suite de rationnels et ce à l'ordre deux. Nous verrons comment la preuve de ce théorème peut être reliée avec certaines propriétés de la géométrie hyperbolique, puis, si le temps le permet, nous constaterons qu'il est difficile de faire mieux en terme d'ordre d'approximation!

La masse ADM, concept issu de la relativité générale, est un invariant géométrique de certaines variétés riemanniennes. Ses propriétés, dont nous parlerons lors de cet exposé, ont joué un rôle crucial dans la résolution du problème de Yamabe et l'introduction subséquente de l'invariant différentiel sigma par R. Schoen. Nous verrons ensuite comment une construction due à L. Habermann et J. Jost et utilisant la masse ADM permet de définir un invariant complémentaire à sigma.