Séminaire des doctorants (archives)

Cet exposé a pour but de proposer une introduction à la théorie de Morse. La principale question abordée sera la suivante : étant connue une fonction définie sur une variété M, peut-on en déduire des informations sur la structure de la variété elle-même ? La réponse est généralement oui : la donnée d'une fonction de Morse induit une structure de complexe cellulaire sur M. On présentera les grandes idées de la preuve de ce résultat. Si le temps le permet, on abordera également les questions de réarrangement et d'annulation de points critiques.

Dans cet exposé, on verra comment généraliser les fonctions holomorphes d'une variable à plusieurs variables complexes. Utiliser de telles fonctions peut s'avérer utile dans la résolution d'équations aux dérivées partielles lorsque l'on recherche des solutions particulières analytiques. On abordera la résolution d'une catégorie particulière d'EDP holomorphes à l'aide d'un théorème de Cauchy-Kowalevskaya (version "complexe"). Enfin, l'échelle analytique peut également permettre de résoudre localement en temps des EDP non linéaires d'ordre un en temps et en espace, à l'aide d'un théorème de Cauchy-Kowalevskaya (version "réel").

The shallow-water equations are widely used to model the free surface of a fluid in motion. However, when introducing the friction source term in the equations, the well-balanced property (preservation of the steady states) becomes harder to ensure. The aim of this talk is, after presenting the equations, to find the steady states for the shallow-water equations with friction, and show how to numerically preserve them. Numerical experiments will be shown to illustrate such a result.

Dans cet exposé on s'intéressera aux problèmes hyperboliques linéaires posés dans un quart d'espace. Après une présentation du problème et une description des nouvelles difficultés induites par la non-régularité du bord du domaine de résolution, on décrira un cadre physique dans lequel le caractère fortement bien-posé du problème est connu. Puis on verra comment les outils de l'optique géométrique permettent de construire des solutions approchées pour de tels problèmes. Ceci permettra de mettre en évidence (sur des exemples explicites) de nouveaux phénomènes propres au problème dans le quart d'espace.

Le but de cet exposé est de proposer une introduction au problème de Calderón qui pose la question suivante : peut-on déterminer les propriétés électriques d’un milieu par des mesures sur son bord ? On commencera par donner quelques motivations à la résolution de ce problème puis l'on présentera les résultats connus dans le cas d'un ouvert de R^n pour des conductivités scalaires. On présentera ensuite brièvement quelques idées de preuves puis l'on finira par une présentation rapide du problème dans le cas anisotrope et des résultats connus dans ce cadre.

La constante de Yamabe locale d'un espace singulier est un invariant conforme, dont dépend l'existence d'une métrique à courbure scalaire constante. Cet exposé se propose de donner une introduction aux résultats connus sur cet invariant ; nous montrerons de plus comment il est possible de le calculer dans une famille d'espace stratifiés.

(Exposé en préparation du Forum des Jeunes Mathématicien-ne-s)