Transformations de Legendre, thermodynamique, et géométrie de contact élémentaire

$dU=TdS-PdV$. Cette formule évoque à la fois le premier principe de la thermodynamique et une forme différentielle "de contact", dans l'espace de dimension 5. Par ailleurs, se cache derrière des notions telles que l'"enthalpie" où l'"énergie libre" l'idée de la transformation de Legendre... Dans cet exposé élémentaire, je vais tenter de clarifier ce faisceau de relations, en partant d'observations qui remontent, au moins, à René Thom et V.I. Arnold. Ce sera un prétexte pour passer en revue différentes incarnations et applications de cette "transformation de Legendre".