Ce titre est un peu sibyllin. Il désigne un théorème prouvé par Jean Cerf à la fin des années 60, énonçant que tout difféomorphisme de la sphère de dimension trois se prolonge en difféomorphisme de la 4-boule. Par conséquent, aucune potentielle 4-sphère exotique ne pourra être obtenue par un recollement, aussi "exotique" soit-il, de deux hémisphères.
Le vrai théorème de Cerf (1968) énonce que tout difféomorphisme de la 3-sphère préservant l'orientation est isotope à l'identité. $\Gamma_4=0$ en est une conséquence immédiate.
Dans son article de 1992 à la mémoire de Claude Godbillon et de Jean Martinet, Yakov Eliashberg avait donné une preuve directe de $\Gamma4=0$, sans passer par $\pi0({\rm Diff_+}S^3)=0$. Il utilisait les outils de l'époque des courbes pseudo-holomorphes en géométrie de contact.
Dans cet exposé de séminaire, je voudrais présenter une preuve du théorème de Cerf que j'ai récemment rédigée. Elle se réduit à un théorème d'isotopie de feuilletages de $S^2\times [0,1]$ tangents au bord. De façon assez surprenante, le cadre géométrique est assez facile à traiter. La clé consiste en une suite convenable de chirurgies de Dehn qui "tue" toutes les obstructions sans changer le problème initial d'isotopie.
comments