Séminaire de géométrie

Une question fondamentale dans l’étude des 3-variétés consiste à comprendre la structure topologique des 3-variétés qui admettent une métrique riemannienne complète à courbure scalaire positive, appelées variétés PSC. Les travaux de Schoen-Yau, Gromov-Lawson et Perelman ont permis de classifier les 3-variétés PSC fermées : ce sont exactement celles qui se décomposent en sommes connexes de variétés sphériques et de produits S^2xS^1. Dans cet exposé, nous présenterons un résultat de décomposition des 3-variétés PSC non compactes : si sa courbure scalaire décroît assez lentement, alors la variété se décompose en une somme connexe (possiblement infinie) de variétés sphériques et S^2xS^1. Ce résultat fait suite à des travaux récents de Gromov et de Wang. Il s'agit d'un travail en collaboration avec F. Balacheff et S. Sabourau.

Equipé de la topologie de Chabauty, l'espace des sous-groupes d'un groupe dénombrable G est un fermé du Cantor, muni d'une action par homéomorphismes donnée par la conjugaison. On s'intéresse à la dynamique induite par cette action sur des sous-espaces fermés invariant. Le plus gros sous-espace fermé sans point isolé est un exemple de tel espace, appelé noyau parfait de G. Dans un contexte acylindrique, Hull, Minasyan et Osin ont démontré des propriétés de mélange fort (µ-mélange topologique, un renforcement de la haute transitivité topologique). On met en évidence une situation radicalement différente dans le cas des groupes de Baumslag-Solitar non-unimodulaires. Pour la décomposition du noyau parfait introduite par Carderi, Gaboriau, Le Maître et Stalder (qui ont montré la haute transitivité topologique sur chaque pièce), on montre que l'action par conjugaison n'est µ-mélangeante sur aucune pièce sauf une pour un continuum de mesures µ. Pour les Baumslag-Solitar unimodulaires en revanche, on montre que l'action par conjugaison est µ-mélangeante sur toutes les pièce de la partition.