Séminaire de géométrie (archives)

Un espace symétrique complexe est la complexification de Stein d'un espace symétrique Riemannien compact, et s'identifie au fibré (co)tangent (muni d'une structure complexe) de celui-ci. Sur les espaces symétriques complexes de rang 1, Stenzel a construit explicitement des métriques de Calabi-Yau, dont la géométrie à l'infini s'interprète comme métriques coniques sur des cônes kählériens. Une question naturelle est de généraliser ce résultat en rang arbitraire avec une description explicite du comportement à l'infini de la métrique.

In this talk, we will review the recent works by Petersen and Wink regarding new curvature conditions for Bochner techniques on closed manifolds and its applications. Then, we continue there techniques to study non-compact complete manifolds and show several rigidity results of harmonic tensors in terms of Lichnerowicz Laplacians. Several applications to study geometry of curved manifolds and immersed submanifolds are also given .

Roughly speaking, an ALF metric of real dimension 4n should be a metric such that its asymptotic cone is 4n - 1 dimensional, the volume growth of this metric is of order 4n - 1 and its sectional curvature tends to 0 at infinity. We will show that the Taub-NUT deformation of a hyperkahler cone with respect to a locally free circle action is ALF hyperkahler. Modelled on this metric at infinity, we can show the existence of ALF Calabi-Yau metric on certain crepant resolutions. In particular, there exist ALF Calabi-Yau metrics on canonical bundles of classical homogeneous Fano contact manifolds.

In this talk, we are concerned with the relation between two kinds of canonical Kähler metrics on Fano manifolds, the Calabi's extremal Kähler metrics and the Mabuchi solitons (or generalized Kähler-Einstein metrics in the literature). These are both generalizations of the concept of Kähler-Einstein metrics.

Mabuchi showed that the existence of Mabuchi solitons implies that of extremal Kähler metrics representing the first Chern class. It is also known that the converse is true for Fano manifolds of dimension up to two.

Based on the above, we present examples of Fano manifolds in ALL dimensions greater than two which admit extremal Kähler metrics in every Kähler class, but do not admit Mabuchi solitons.

L'espace hyperbolique complexe est l'analogue en géométrie complexe de l'espace hyperbolique réel : il s'agit de l'unique variété simplement connexe à courbure sectionnelle holomorphe constante (négative). Comme son pendant réel, il possède un modèle de la boule, dont le bord à l'infini (la sphère) est naturellement muni d'une géométrie. Plus précisément, il s'agit d'une géométrie de Cauchy-Riemann (CR), qui est la géométrie naturelle des hypersurfaces réelles dans les variétés Kähler. La géométrie du bord est intimement liée à la géométrie Riemannienne de la variété hyperbolique complexe. Dans cet exposé, nous considérons une variété complète et non compact dont la courbure à l'infini est proche de celle de l'espace hyperbolique complexe.

Motivated by constructions appearing in mirror symmetry, we consider the problem of finding canonical representatives for a complexified Kähler class on a compact complex manifold. These are complex cohomology classes whose imaginary part is a Kähler class, while the real part is an arbitrary real (1,1)-class. As is often the case in complex geometry, one way to fix a representative of such a class is to impose an elliptic PDE. In this talk, I will explain why a natural choice of PDE is a coupling of the deformed Hermitian Yang-Mills equation and the constant scalar curvature equation. We will then see how to prove the existence of solutions in some special cases and talk about some obstructions to the existence of solutions. Based on arXiv:2209.14157, joint work with Jacopo Stoppa.

Sur une surface fermée à courbure négative, Margulis a explicité la croissance asymptotique du nombre de géodésiques fermées de longueurs bornées, quand la borne tend vers l’infini. Une question naturelle est de savoir si on peut obtenir des résultats similaires pour des géodésiques qui sont sujettes à certaines contraintes, topologiques ou géométriques. Après un état de l’art sur la question, je présenterai des résultats récents sur le comptage de géodésiques fermées pour lesquelles on a prescrit certains nombres d’intersection géométriques avec une famille de courbes simples.

Les structures localement conformément produits se définissent sur les variétés conformes compactes admettant une connexion qui est localement, mais pas globalement, la connexion de Levi-Civita d’une métrique de la classe conforme. Elles sont caractérisées par leur holonomie, qui est réductible mais non triviale. Le relèvement d’une telle connexion au revêtement universel de la variété LCP est alors la connexion de L-C d’une métrique produit, donnant sont nom à la structure. On présentera dans cet exposé les propriétés de ces variétés. On étudiera également certains invariants naturels, en montrant qu’ils peuvent être fixés arbitrairement. On mettra en exergue un lien avec la théorie des corps algébriques de nombres, en expliquant la construction des exemples les plus généraux.

L’intégrale de la courbure moyenne au carré est un invariant conforme des surfaces ré- introduit par Willmore en 1965 dont l’étude eut une influence considérable sur l’analyse géométrique et en particulier sur les surfaces minimales ces dernières années. D’autre part, l’énergie de Loewner introduite par Yilin Wang en 2015 est une énergie invariante conforme des courbes planes, qui est liée aux processus SLE et à la classe de Weil-Petersson apparaissant en théorie de Teichmüller (universelle). Dans cet exposé, après une courte introduction historique, nous parlerons de récents développements liant l’énergie de Willmore et l’énergie de Loewner et ferons mention de nombreux problèmes ouverts. Travail en collaboration avec Yilin Wang (IHÉS)

Le point de départ de l'exposé sera une question à l'interface des probabilités et de la géométrie : "étant donnée une variété riemannienne, existe-t-il une géométrie aléatoire naturelle sur cette variété?". Dans le cas de la dimension deux, on sait donné une réponse assez complète à la question si l'on impose un critère d'invariance conforme dans la définition de "naturelle" grâce à des travaux sur la 'Liouville quantum gravity' par de nombreux auteurs. Je présenterai mes travaux récents avec L. Dello Schiavo, E. Kopfer et K-T. Sturm qui donnent des réponses partielles à la question en dimension paire ≥ 2 sur des variétés compactes ainsi que les nombreuses questions. Je me concentrerai, dans cet exposé, sur les aspects géométriques de ce travail.