Séminaire de mathématiques appliquées

La marche aléatoire de l'éléphant (ERW) est une marche aléatoire discrète qui a été introduite au début des années 2000 par deux physiciens afin d'étudier l’influence d’un paramètre de mémoire sur le comportement de la marche aléatoire. Dans cet exposé, on présentera plusieurs possibilités pour étudier et obtenir des résultats sur l’ERW. On s’intéressera à l’approche martingale, puis au lien avec les urnes de Polya ou encore avec les arbres aléatoires récursifs. En particulier, on expliquera comment l’utilisation des trois approches est nécessaire pour obtenir des informations sur la variable aléatoire limite qui apparaît dans le régime super-diffusif.

TBA

Abstract

I will talk about several properties of stationary solutions of fractional SDEs. I will first recall some seminal results by Hairer (2005) on the construction of stationary solutions and associated ergodic results. Then, I will focus on a recent paper with Xue-Mei Li and Julian Sieber where we prove smoothness and Gaussian bounds for the density of the related invariant distribution (under appropriate assumptions) in the additive case. The proofs are based on a novel representation of the stationary density in terms of a Wiener-Liouville bridge, which proves to be of independent interest: We show that it also allows to obtain Gaussian bounds on the non-stationary density, which extend previously known results in the additive setting.

Nous présenterons la notion de noyau de Stein, qui permet de généraliser la formule d'intégration par partie pour la loi normale (qui possède un noyau de Stein constant, égal à sa covariance). Nous nous focaliserons dans un premier temps sur la dimension 1 où, sous de bonnes conditions, le noyau de Stein possède une formule explicite. Nous verrons que le noyau de Stein apparaît naturellement comme pondération d'une inégalité de type Poincaré et qu'il permet d'obtenir des inégalités de concentration précises, de type ratio de Mills. Dans une seconde partie, nous travaillerons en dimension supérieure, en étudiant notamment comment la notion de noyau de Stein permet de décrire la performance de l'estimateur de shrinkage, sans l'hypothèse classique de données Gaussiennes.