Étude du flot gradient d’application moment sur les tores de dimension 2 et 4, et théorie de la perturbation locale de l’espace de module des connexions complexes plates sur une famille dégénérescente de surfaces de Riemann

Cette thèse est composée de deux parties : une pour chaque projet que j’ai entamé au cours de ces trois dernières années. Le premier a pour objectif d’explorer la topologie globale du groupe des symplectomorphismes du tore de dimension 4 grâce à un flot d’application moment; cette dernière servant à réaliser le dit groupe comme son lieu de zéros. Nous traitons le cas du tore de dimension 2 comme exemple introductif. Le flot n’étant pas elliptique, nous utilisons une astuce due à DuTurck exploitant les symétries de l’équation afin de la transformer en un problème parabolique. Nous prouvons alors un résultat d’exisd’existence en temps court de ce flot auprès de n’importe quel symplectomorphisme. Le second vise a comprendre comment l’espace de module des connexions SL2(C)-plates au dessus d’une famille de surface de Riemann qui dégénère le long d’un cycle séparant en un noeud se comporte. Nous décrirons toute l’analyse locale à effectuer proche du noeud, puis nous esquisserons brièvement une explication de comment recoller les informations locales obtenues sur chaque composantes connexes de part et d’autre du cycle séparant/ noeud en une information globale.