Thèse de doctorat de l'université de Nantes

The objective of this thesis is to solve non-linear hyperbolic conservation laws by measure-based approaches. The first contribution is a numerical method to solve parameter-dependent scalar hyperbolic partial differential equations (PDEs) with a moment approach, based on a previous work from Marx et al. (2020). This approach relies on a very weak notion of solution of nonlinear equations, namely parametric entropy measure-valued (MV) solutions. The infinite-dimensional linear problem is approximated by a hierarchy of convex, finite-dimensional, semidefinite programming problems, called Lasserre's hierarchy. Finally, several post-treatments can be performed, including reconstructing the graph of the solution. The second contribution is a model order reduction method to solve scalar hyperbolic PDEs with a moment approach, inspired of a previous work from Ehrlacher et al. (2020). In this method, we see the snapshots as measures linked to the solutions, and define the approximation space as the set of Wasserstein barycenters of these snapshots. The offline and online phases are then based on a projection onto the approximation space, which is obtained through an optimization phase which consists in minimizing deviation from some moment information on the solution.

Cette thèse est composée de deux parties : une pour chaque projet que j’ai entamé au cours de ces trois dernières années. Le premier a pour objectif d’explorer la topologie globale du groupe des symplectomorphismes du tore de dimension 4 grâce à un flot d’application moment; cette dernière servant à réaliser le dit groupe comme son lieu de zéros. Nous traitons le cas du tore de dimension 2 comme exemple introductif. Le flot n’étant pas elliptique, nous utilisons une astuce due à DuTurck exploitant les symétries de l’équation afin de la transformer en un problème parabolique. Nous prouvons alors un résultat d’exisd’existence en temps court de ce flot auprès de n’importe quel symplectomorphisme. Le second vise a comprendre comment l’espace de module des connexions SL2(C)-plates au dessus d’une famille de surface de Riemann qui dégénère le long d’un cycle séparant en un noeud se comporte. Nous décrirons toute l’analyse locale à effectuer proche du noeud, puis nous esquisserons brièvement une explication de comment recoller les informations locales obtenues sur chaque composantes connexes de part et d’autre du cycle séparant/ noeud en une information globale.

Cette thèse propose de nouvelles méthodes statistiques pour estimer la courbe d'étalonnage des âges carbone 14 et calibrer de nouvelles mesures. L'approche développée s'appuie sur les réseaux de neurones bayésiens et l'inférence variationnelle.

Le premier axe de travail développe un cadre d'étalonnage de fonctions non linéaires unidimensionnelles, avec des procédures de calibration individuelle et simultanée. Les performances obtenues en calibration sont prometteuses et dépassent celles de la courbe IntCal20 sur des données réelles traitées dans la thèse.

Le second axe s'intéresse à la régression sur variables entachées d'erreurs, une problématique peu traitée dans le cadre de modèles de régression par réseaux de neurones. Une nouvelle approche est développée pour la prise en compte de l'incertitude en entrée du réseau de neurones dans le cas des erreurs de mesure gaussiennes.

Enfin, le troisième axe introduit pour la première fois l'utilisation de variables exogènes dans l'estimation de la courbe de calibration du radiocarbone. Cette approche conduit à une courbe de calibration plus informative. Les résultats obtenus ouvrent la voie à une modélisation complète des incertitudes et à leur propagation de la phase d'estimation à celle de la calibration.

L'objet de cette thèse est d'étudier et de développer l'analyse temps-fréquence pour des multiplicateurs de Fourier présentant une singularité de type "transformée de Hilbert bilinéaire" (avec des singularités dans des directions dégénérées, des shifts, ...).