Depuis les travaux de Lebeau et Robbiano (1995), il est connu que l'équation de la chaleur est contrôlable depuis des sous-ensembles qui satisfont une inégalité spectrale : les normes L² sur le sous-ensemble et sur la variété doivent être équivalentes pour des fonctions à support spectral borné, avec une constante qui croît au plus exponentiellement en le seuil de fréquence.
Après avoir introduit ces notions, je parlerai d'une collaboration en cours avec Alix Deleporte (Université Paris-Saclay) et Jean Lagacé (King's College London), dans laquelle nous caractérisons les ensembles satisfaisant cette inégalité spectrale sur n'importe quelle variété à courbure sectionnelle bornée. La condition nécessaire et suffisante, dite d'épaisseur, est une condition d'équidistribution de la mesure de l'ensemble dans toute la variété. Si le temps le permet, j'expliquerai comment l'inégalité spectrale et la notion d'épaisseur interagissent avec la géométrie du problème, et quelles conséquences de l'hypothèse de courbure bornée sont pertinentes dans l'étude. Les outils employés combinent théorie du contrôle, analyse géométrique et analyse harmonique.