Séminaire d'analyse (archives)

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Calcul fonctionnel de Weyl et l'oscillateur harmonique quantique

Christoph Kriegler
Etablissement de l'orateur
Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal (Université Clermont Auvergne)
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Lieu de l'exposé
Salle Eole
Résumé de l'exposé
Soient $T_1,T_2,...,T_n$ $n$ groupes d'opérateurs linéaires uniformément bornés sur un espace de Banach $X$ à un paramètre réel qui commutent entre eux. L'exemple classique sont les translations $S_1, S_2,...,S_n$ des fonctions dans $L^p(\mathbb{R}^n)$ dans les $n$ directions. Il est bien connu que quand ces groupes commutent, ils satisfont une loi de transfert: pour les multiplicateurs spectraux $m : \mathbb{R}^d \to \mathbb C$ qui donnent lieu à un opérateur borné $m(S_1,...,S_n)$ sur $L^p(\mathbb{R}^n,X)$ - notamment les multiplicateurs de Fourier type Mihlin - les opérations $m(T_1,...,T_n)$ sont bornées sur $X$ pour toute famille $T_1,...,T_n$.

Dans cet exposé, nous regarderons des familles de groupes qui sont légèrement non commutatifs, les Weyl uplets. Le premier exemple sont les translations plus modulations, dont les multiplicateurs spectraux sont les opérateurs pseudo-différentiels. Nous montrerons qu'il existe également une famille universelle avec une loi de transfert pour tout Weyl uplet. Comme exemple, nous discutons les opérateurs pseudo-différentiels sur le plan de Moyal-Groenewold.

Il s'agit d'un travail en commun avec Cédric Arhancet, Lukas Hagedorn et Pierre Portal.

Tores invariants de dimension infinie pour les équations de Schrödinger non-linéaires

Joackim Bernier
Etablissement de l'orateur
LMJL
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Salle Eole
Résumé de l'exposé

Je vous présenterai un résultat récent, en collaboration avec Benoît Grébert et Tristan Robert, concernant l'existence de tores invariants de dimension infinie pour les équations de Schrödinger non-linéaires sur le cercle (sans paramètres externes). En particulier, nous montrons l'existence de solutions presque-périodiques qui ne sont pas quasi-périodiques. Notre preuve repose notamment sur la théorie KAM et des effets régularisants dispersifs que je décrirai.

Un modèle microscopique pour un problème à frontières libres

Marielle Simon
Etablissement de l'orateur
Institut Camille Jordan, Université Lyon 1
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Salle Eole
Résumé de l'exposé

Je présenterai quelques résultats récents obtenus pour le processus d'exclusion facilitée, en une dimension. Ce modèle appartient à la famille des "stochastic lattice gases", et il est soumis à de fortes contraintes cinétiques qui créent une transition de phase continue vers un état absorbant à une valeur critique de la densité de particules. Si la dynamique microscopique est symétrique, son comportement macroscopique, sous des conditions aux limites périodiques et une échelle de temps diffusive, est régi par une EDP non linéaire appartenant aux problèmes à frontières libres (ou problèmes de Stefan). L'un des ingrédients est de montrer que le système atteint typiquement une composante ergodique en temps sous-diffusif. Lorsque le système de particules est mis en contact avec des réservoirs de particules (qui peuvent soit détruire, soit injecter des particules aux deux extrémités), nous observons un impact habituel sur les valeurs limites de la densité empirique. Basé sur des travaux communs avec O. Blondel, H. Da Cunha, C. Erignoux, M. Sasada et L. Zhao.

Sections holomorphes aléatoires et opérateurs de Berezin-Toeplitz

Yohann Le Floch
Etablissement de l'orateur
IRMA, Strasbourg
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Salle des séminaires
Résumé de l'exposé

L'étude de la distribution des zéros de polynômes aléatoires, et plus généralement de sections holomorphes aléatoires de fibrés, est un sujet classique. Je discuterai d'un travail en commun avec Michele Ancona (Université Côte d'Azur), dans lequel nous avons obtenu des résultats sur le lieu des zéros de l'image par un opérateur de Berezin-Toeplitz d'une section holomorphe aléatoire d'une grande puissance d'un fibré en droites complexes au-dessus d'une variété kählérienne. Mon but sera d'introduire gentiment toutes ces notions et d'expliquer nos motivations et nos résultats, ainsi qu'une suite naturelle qui constitue un travail en cours.

Growth of Sobolev norms for completely resonant quantum Harmonic Oscillators in ℝ²

Maria Teresa Rotolo
Etablissement de l'orateur
SISSA
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salle Eole
Résumé de l'exposé
In this talk I present some results obtained in a recent work in collaboration with Beatrice Langella and Alberto Maspero. We consider time-dependently perturbed quantum harmonic oscillators in $\mathbb{R}^2$:

$$
i\partial_t u = \frac12(-\partial_{x_1}^2 - \partial_{x_2}^2 + x_1^2 + x_2^2 ) u + V(t,x,D)u, \quad x \in \mathbb{R}^2
$$

where $V(t,x,D)$ is a $2\pi$-periodic in time, selfadjoint pseudodifferential operator of degree zero. We identify sufficient conditions on the potential $V(t,x,D)$ that ensure existence of solutions exhibiting unbounded growth in time of their positive Sobolev norms and we show that the class of symbols satisfying such conditions is generic in the Fréchet space of classical $2\pi$-time periodic symbols of order zero.

During the talk I first introduce the problem of growth of Sobolev norms for this class of equations, in order to motivate our result, and then I describe the main ingredients of our proof. The main difficulty is to find a conjugate operator $A$ for the resonant average of $V(t,x,D)$. We explicitly construct the symbol of the conjugate operator $A$, thus turning the problem into the study of a class of Hamiltonian systems and using techniques of differential geometry and dynamical systems.

Eigenvalue statistics in the fractional Anderson model

Constanza Rojas-Molina
Etablissement de l'orateur
Cergy-Pointoise
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Salle Eole
Résumé de l'exposé

We report on on-going work in collaboration with P. Hislop on the eigenvalue statistics of the fractional Anderson model, part of a research program on long range Hamiltonians with diagonal disorder. We review some recent results on the spectral properties on long range random models and the conjectures involving the spectral and dynamical transition expected for these models.

Taux de convergence locale pour les descentes de gradients Wasserstein

Pierre Monmarché
Etablissement de l'orateur
Laboratoire Jacques-Louis Lions
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salle Eole
Résumé de l'exposé
L'équation des milieux granulaires est une EDP non-linéaire obtenue dans la limite champ moyen d'un système de particules de Langevin en interaction. Elle peut être interprétée comme la descente de gradient dans un espace de probabilités d'une certaine énergie libre. Pour de tels flots gradients, il est connu qu'une convergence exponentiellement rapide vers le minimum global de l'énergie libre est impliquée par une inégalité fonctionnelle reliant l'énergie libre à sa dissipation (qui généralise à ce cadre non-linéaire l'inégalité classique dite de log-Sobolev). Cependant une telle inégalité n'a aucune chance d'être satisfaite quand l'EDP admet des solutions stationnaires autres que les minimiseurs globaux de l'énergie libre, ce qui est par exemple le cas pour l'équation des milieux granulaires dans un double puit avec interaction attractive en-deça d'une température critique. Basé sur un travail récent avec Julien Reygner, on montrera comment des inégalités fonctionnelles locales peuvent néanmoins être établies dans ce contexte, impliquant des taux de convergence locale pour des conditions initiales dans une boule Wasserstein centrée sur les minimiseurs locaux. En pratique, ceci implique également que l'énergie libre du système de particules approchant le flot décroît rapidement en-dessous du niveau du minimiseur local, à un terme d'erreur près. La même analyse s'applique au cas cinétique (c'est-à-ditre pour l'équation de Vlasov-Fokker-Planck).

Aspects métriques et spectraux des courbes planes aléatoires

Michele Ancona
Etablissement de l'orateur
Laboratoire J.A. Dieudonné, Université Côte d'Azur
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salle Eole
Résumé de l'exposé

Une courbe (complexe) plane est le lieu des zéros dans CP2 d’un polynôme homogène en trois variables. Toute courbe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini-Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet.

Décroissance locale et profil asymptotique de l'équation des ondes amorties dans un cadre asymptotiquement Euclidien

Rayan Fahs
Etablissement de l'orateur
Institut de Mathématiques de Toulouse
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Dans cet exposé, on s'intéresse à des estimations de décroissance locale pour l’équation des ondes dans un cadre asymptotiquement Euclidien. En dimensions paires, on va au-delà de la décroissance optimale en fournissant le profil asymptotique à long terme, donné par une solution de l’équation des ondes libres. En dimensions impaires, on améliore les meilleures estimations connues. En particulier, on obtient un taux de décroissance qui dépasse la décroissance optimale en dimensions paires.

L’analyse repose principalement sur une comparaison de la résolvante correspondante avec la résolvante du problème libre pour les basses fréquences. De plus, tous les résultats s’appliquent à l’équation des ondes amorties avec un indice d’absorption à courte portée.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec J. Royer.

Localisation pour un modèle de Dirac aléatoire quasi-unidimensionnel

Hakim Boumaza
Etablissement de l'orateur
Université Sorbonne Paris Nord
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salle Eole
Résumé de l'exposé
Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux phénomènes de la localisation d'Anderson et de la localisation dynamique dans le cadre des modèles aléatoires quasi-unidimensionnels. Pour ces modèles, la question de la localisation se réduit à l'étude d'un objet algébrique, le groupe de Furstenberg. L'introduction de ce groupe se fera en lien avec celle d'objets typiques de la dimension un : les matrices de transfert, les exposants de Lyapunouv et un peu de théorie de Kotani. Nous présenterons, dans le cadre des opérateurs quasi-unidimensionnels de type Dirac, un critère de localisation ne faisant intervenir que des propriétés du groupe de Furstenberg. Je présenterai enfin l'étude du groupe de Furstenberg pour un exemple particulier de modèle quasi-unidimensionnel de type Dirac. Il s'agit d'un travail en collaboration avec S. Zalczer.