Séminaire d'analyse (archives)

We study the formation of extreme waves from a statistical viewpoint in the context of the pure gravity water wave equations in deep water. We quantify their probability under random Gaussian sea initial data up to the optimal timescales allowed by deterministic well-posedness theory. The proof shows that rogue waves most likely arise through "dispersive focusing", where phase synchronization produces constructive amplification of the water crest. The main difficulty in justifying this mechanism is propagating statistical information over such long timescales, which we overcome by combining normal forms and probabilistic methods. Unlike previous results, this new approach does not require approximate solutions to be Gaussian. Joint work with M. Berti, A. Maspero and G. Staffilani.

On s'intéresse à la solution d'une équation différentielle dirigée par un champs de vecteur lui-même perturbé par le mouvement d'une particule suivant la dynamique d'un gaz de Lorentz Z-périodique. Lorsqu'on accélère ce mouvement (et donc la dynamique du système) on peut montrer que la solution converge vers la solution d'une équation différentielle moyennée indépendante de la dynamique dans le gaz de Lorentz.

Dans cet exposé je présenterai la dynamique dans un gaz de Lorentz et établirai ce résultat sous la forme d'un Théorème limite. Enfin je donnerai une idée de la preuve qui repose sur la stabilité du théorème central limite fonctionnel vérifié par des sommes de Birkhoff sur le billard de Sinai et de la mesure de Lebesgue associée.

Cet exposé présente mes travaux récents sur l'équation de Benjamin–Ono. Ces travaux reposent sur l'extension et l'utilisation de formules explicites pour étudier la limite de zéro dispersion et établir un nouveau schéma numérique.

Premièrement, je présenterai les résultats sur l'extension de la formule explicite et son application à la limite de zéro dispersion. Nous avons étendu la formule explicite pour l'équation de Benjamin–Ono sur la droite aux données initiales à valeurs réelles et de carré intégrable. Cette avancée nous a permis d'étudier rigoureusement la limite de zéro dispersion pour des données initiales plus singulières.

Deuxièmement, je montrerai comment la formule explicite permet de développer un nouveau schéma numérique pour l'équation de Benjamin–Ono sur le cercle. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Yvonne Alama Bronsard et Matthieu Dolbeault. Un point central de ce travail est que nous avons démontré rigoureusement la convergence de ce schéma. Ce schéma, exact en temps et spectral en espace, permet d'étudier efficacement la dynamique en temps long.

La dynamique linéaire s’intéresse à l’évolution à long terme des itérations d’un opérateur linéaire borné agissant sur un espace de Banach ou de Fréchet. Malgré la simplicité apparente du cadre linéaire, ce type de systèmes peut présenter des comportements très riches, voire inattendus. Un résultat important en ce sens est le critère de Godefroy–Shapiro, qui relie l’abondance de vecteurs propres à l’existence d’orbites denses. Dans cet exposé, je me concentrerai sur les opérateurs de Toeplitz sur l’espace de Hardy et expliquerai comment leur comportement dynamique est rélié à des propriétés géométriques de leur symbole.

In this talk, I will present a new result about small-time local controllability near the ground state for a bilinear Schrödinger equation with Neumann boundary conditions, for which the linearized system is not controllable. I will prove that a Lie bracket–type condition ensures that either the nonlinear system exhibits a quadratic obstruction or, remarkably, recovers controllability at the quadratic order. This is a joint work with Karine Beauchard and Frédéric Marbach.

In this talk I will introduce the Anderson-Gross-Pitaevskii equation, a nonlinear Schrödinger equation with both a spatial white noise potential and a smooth confining potential. Due to the spatial roughness of the white noise in dimension 2, a renormalization procedure is needed. I will briefly present this procedure which relies on a good integrability estimate on the kernel of an unbounded operator. Then, I will present a paracontroled approach to the confining Anderson operator in order to obtain Strichartz estimates. With Strichartz estimates at hand, I will present my local wellposedness result in two steps. First the low-regularity wellposedness through the usual fix point argument, and then unconditional local wellposedness in the energy space using propagation of regularity.

Depuis les travaux de Lebeau et Robbiano (1995), il est connu que l'équation de la chaleur est contrôlable depuis des sous-ensembles qui satisfont une inégalité spectrale : les normes L² sur le sous-ensemble et sur la variété doivent être équivalentes pour des fonctions à support spectral borné, avec une constante qui croît au plus exponentiellement en le seuil de fréquence.

Après avoir introduit ces notions, je parlerai d'une collaboration en cours avec Alix Deleporte (Université Paris-Saclay) et Jean Lagacé (King's College London), dans laquelle nous caractérisons les ensembles satisfaisant cette inégalité spectrale sur n'importe quelle variété à courbure sectionnelle bornée. La condition nécessaire et suffisante, dite d'épaisseur, est une condition d'équidistribution de la mesure de l'ensemble dans toute la variété. Si le temps le permet, j'expliquerai comment l'inégalité spectrale et la notion d'épaisseur interagissent avec la géométrie du problème, et quelles conséquences de l'hypothèse de courbure bornée sont pertinentes dans l'étude. Les outils employés combinent théorie du contrôle, analyse géométrique et analyse harmonique.

En s'appuyant sur les travaux de Garg, Gurvits, Oliveira et Wigderson, on démontre que les données géométriques de Brascamp-Lieb sont, dans un certain sens, omniprésentes au sein des données admissibles. Cela répond à une question soulevée par Bennett et Tao dans leurs travaux récents sur l'inégalité adjointe de Brascamp-Lieb.

In this talk, I will present several recent results, in collaboration with Nicolas Burq, on the control theory of Schrödinger propagators on tori. Our goal is to address the following conjecture: on a torus of arbitrary dimension, Schrödinger propagators with bounded potentials are observable, and therefore controllable, from arbitrary space-time domains of positive Lebesgue measure.

Using a scheme that combines (1) approximation of rough functions by continuous functions, (2) the cluster structure of lattice points near paraboloids, and (3) mathematical induction on the dimension, we reduce the conjecture to certain integrability bounds for linear Schrödinger waves. These bounds are weaker than Bourgain’s conjectured periodic Strichartz estimates but remain nontrivial. In particular, our criteria imply the observability conjecture for the one-dimensional torus.

Applications of our results include Cantor--Lebesgue type theorems and uniform nonvanishing estimates for quantum limits.