Séminaire d'analyse (archives)

Les théories quantiques des champs loin de l’équilibre peuvent présenter une dynamique universelle qui devient largement indépendante des détails de l’état initial, à l’image de la turbulence d’ondes de Kolmogorov. Pour les systèmes à nombres d’occupation élevés, les simulations classiques-statistiques approchent la dynamique quantique par un ensemble de champs classiques évoluant selon les équations de Hamilton. Dans cet exposé, je présenterai cette méthode non perturbative en temps réel à l’aide de théories de champs scalaires à symétrie O(N), en partant de conditions initiales adaptées au système quantique. Nous discuterons de l’évolution vers des attracteurs autosimilaires, souvent appelés points fixes non thermiques. Le calcul des fonctions de corrélation et de réponse permet ensuite de caractériser les excitations collectives décrites par les fonctions spectrales et d’étudier les mécanismes physiques de la dynamique universelle. Je conclurai par une ouverture sur les théories de jauge non abéliennes et leurs applications aux premiers instants des collisions d’ions lourds.

Considérons un opérateur de Schrödinger sur R_+, avec condition de Dirichlet en 0. Sous l'hypothèse que le potentiel admet un minimum linéaire en 0, nous démontrons une formule asymptotique pour la première fonction propre, dans la limite semiclassique. Pour ce modèle simple, les constructions BKW habituelles ne suffisent pas: nous proposons une construction de quasimode alternative, plus adaptée aux puits linéaires. (Collaboration avec Yannick Guedes-Bonthonneau et Nicolas Raymond)

Dans la dérivation de l’équation cinétique à partir de NLS cubique, une caractéristique essentielle est l’invariance de l’équation de Schrödinger sous l’action de U(1), ce qui permet aux quasi-résonances de l’équation de gouverner la dynamique effective des corrélations. Dans cet exposé, je donnerai un exemple d’équation ne possédant pas ce type d’invariance et montrerai que les résonances exactes prennent toujours le pas sur les quasi-résonances. En conséquence, la dynamique effective n’est pas de type cinétique, mais reste non-linéaire. Je présenterai le problème, les idées derrière la dérivation de la dynamique effective ainsi que quelques éléments de la démonstration. Ce travail est issu d'un travail en collaboration avec de Suzzoni (Université Evry Paris-Saclay) et Touati (CNRS et Université de Bordeaux).

On considère un corps rigide se déplaçant dans un fluide compressible et non visqueux, défini dans un domaine borné. Le fluide est décrit par les équations d’Euler compressibles, tandis que le corps rigide satisfait les lois de conservation de la quantité de mouvement linéaire et du moment angulaire. On obtient ainsi un système couplé composé d’une EDO et d’un problème aux limites initiales pour un système hyperbolique à frontière caractéristique, où la vitesse du fluide coïncide avec celle du solide dans la direction normale à la frontière du solide. Dans cet exposé, on établit l’existence et l’unicité d’une solution classique pour ce système couplé. C'est un travail en collaboration avec F. Rousset (Orsay).

Toeplitz matrices represent a wide range of non-selfadjoint matrices that have been widely studied in the past. These matrices are associated with functions, which are called symbols. Although having a particular structure, their lack of self-adjointness causes a strong spectral instability. Under some assumptions, the addition of random noise gives a "regularization of the spectrum", i.e., an equidistribution of the eigenvalues of the perturbed matrix in the numerical range of its symbol. In this talk, I will give a generalized construction of Toeplitz matrices associated with rough symbols (especially by the presence of jumps), and for which this phenomenon still holds. The analysis of the spectrum of these matrices will be done through their empirical spectral measure, and their study is based on semiclassical analysis tools.

I will report on recent advances concerning the computation of spectra of non-selfadjoint semiclassical 1D (pseudo)differential or Toeplitz operators with exponentially small errors. The general idea, based on the well-known Bohr-Sommerfeld rule in the selfadjoint case, is to use a bit of geometry to analyse classical Hamiltonians in the complexified phase space. At the quantum level, this leads to complex Fourier integral operators via Sjöstrand’s theory. I will present applications to non-selfadjoint perturbations of self-adjoint operators, and open questions related to the non-perturbative regime. A large part of the talk will be based on results by Duraffour and Reguer.

Partant d'une surface à courbure négative, Magee, Naud et Puder ont introduit un modèle discret de revêtements aléatoires de degré n de cette surface. Je parlerai de résultats concernant la première valeur propre non triviale d'un revêtement "typique", dans la limite des grands degrés. Travail en collaboration avec Will Hide et Frédéric Naud.

Après avoir introduit les résultats fondateurs de Sogge sur la norme L^p des projecteurs spectraux du Laplacien pour une variété riemannienne compacte, sur un intervalle de fréquence de taille $1$, je présenterai comment obtenir des améliorations sur des intervalles polynomialement fins explicites dans le cadre des surfaces quantiquement complètement intégrables, en particulier pour les surfaces de révolution et pour le disque euclidien, dans les deux régimes de concentration $p=4$ et $p = +\infty$. Cet exposé est partiellement issu de travaux avec Yves Colin de Verdière.

Dans cette présentation je présenterai des résultats récents sur la dynamique en temps long de l’équation de Schrödinger magnétique sur le tore plat en dimension 2. Bien que la dynamique classique associée soit complètement intégrable, la présence du champ magnétique produit un effet de régularisation et d’équidistribution. Plus précisément, sur des échelles de temps suffisamment grandes, les états quantiques se répartissent uniformément en position, puis, à des temps encore plus longs, uniformément le long des courbes d’énergie en variable d’impulsion. Ces résultats mettent en évidence une forme dynamique d’unique ergodicité quantique dans une situation où aucun phénomène chaotique n’est disponible.

We study the formation of extreme waves from a statistical viewpoint in the context of the pure gravity water wave equations in deep water. We quantify their probability under random Gaussian sea initial data up to the optimal timescales allowed by deterministic well-posedness theory. The proof shows that rogue waves most likely arise through "dispersive focusing", where phase synchronization produces constructive amplification of the water crest. The main difficulty in justifying this mechanism is propagating statistical information over such long timescales, which we overcome by combining normal forms and probabilistic methods. Unlike previous results, this new approach does not require approximate solutions to be Gaussian. Joint work with M. Berti, A. Maspero and G. Staffilani.