Séminaire d'analyse (archives)

We consider a tagged particle in mean field interaction with a Rayleigh gas of density N, and prove the convergence of its trajectory, as N goes to infinity, to the one of a diffusion process associated with the linear Landau equation. This is joint work with T. Bodineau.

On s'intéresse à un système de N particules dans le régime de champ moyen, c'est-à-dire avec des interactions de faible intensité (d'ordre 1/N) mais à longue distance (d'ordre 1). Sur les temps courts (d'ordre 1), ce système est décrit par l'équation de Vlasov, qui est conservative. Sur des temps beaucoup plus longs (d'ordre N), par contre, la théorie de Lenard-Balescu prédit la relaxation du système vers l'équilibre (au sens fort, avec de la dissipation d'entropie). Formellement, cette relaxation lente s'explique par les corrélations entre les particules. Cependant, aucune justification rigoureuse n'a été obtenue à ce jour: les seuls résultats sont des preuves de consistance (dérivation au temps 0).

Dans cet exposé, nous revisitons le problème en partant d'un modèle simplifié, qui s'inspire de la version linéaire du problème (due à Duerinckx et Saint-Raymond) et dans lequel la hiérarchie BBGKY est tronquée à un ordre arbitraire. Partant d'une approche perturbative en diagrammes de Feynman, utilisant des idées de renormalisation, et des estimations hypoelliptiques pour les propagateurs renormalisés, nous parvenons à atteindre le temps cinétique (d'ordre N) pour ce modèle.

In this talk, we discuss the effects of perturbations on the topology and geometry of nodal sets/zero sets of Laplace eigenfunctions. A conjecture by Payne states that the nodal set of the second Dirichlet eigenfunction on a bounded planar domain intersects the boundary at exactly two points. We will look into certain stability properties of the nodal sets and discuss some recent results concerning the conjecture. Then, utilising the stability properties, we will observe the prescription of nodal data on Riemannian surfaces, focusing on the following two aspects: the construction of eigenfunctions with a prescribed number of nodal intersections at the boundary, and the realisation of Courant-sharp eigenfunctions at arbitrarily high levels.

Dans cet exposé, je présenterai deux modèles jouets permettant de traiter deux difficultés dans l'étude de l'équation de Vlasov (pour les photons) sur un trou noir, liées notamment à l'existence d'orbites piégées. Le fait que l'ensemble de ces orbites soit normalement hyperboliques permet de contrôler certaines dérivées radiales des solutions ainsi que de montrer que le flux d'énergie décroit exponentiellement.

In this overview talk, I will present the encounter-based approach to diffusive processes in Euclidean domains and highlight its fundamental relation to the Steklov spectral problem. So, the Steklov eigenfunctions turn out to be particularly useful for representing heat kernels with Robin boundary condition and describing diffusive dynamics with reaction events on the boundary. In the second part of the talk, I will discuss the asymptotic behavior of the Steklov eigenvalues for the exterior Steklov problem. Some open questions related to spectral, probabilistic and asymptotic aspects of this problem will be outlined.

References:

[1] D. S. Grebenkov, Paradigm Shift in Diffusion-Mediated Surface Phenomena, Phys. Rev. Lett. 125, 078102 (2020).

[2] D. S. Grebenkov and A. Chaigneau, The Steklov problem for exterior domains: asymptotic behavior and applications (accepted to J. Math. Phys.; preprint ArXiv 2407.09864v2)

Dans cet exposé, nous étudions le spectre du Laplacien magnétique dans des domaines extérieurs du plan, avec conditions aux limites de Neumann et champ magnétique uniforme. Pour le complémentaire d'un disque, nous établissons des asymptotiques précises des premières valeurs propres dans la limite de champ magnétique faible. Pour des domaines étoilés plus généraux, nous obtenons une borne supérieure asymptotique sur la plus petite valeur propre, faisant intervenir un moment géométrique de la frontière — résultat optimal dans le cas du disque. De plus, nous montrons que pour des champs magnétiques modérés, le complémentaire du disque réalise un maximum local pour la plus petite valeur propre sous contrainte de moment.

Travail en collaboration avec Vladimir Lotoreichik (Prague) et Mikael Sundqvist (Lund).

The inverse spectral problem asks to what extent one can recover the geometry of a manifold from knowledge of either its Laplace spectrum or dynamical counterparts, e.g., the (marked) length spectrum. While counterexamples do exist in general, there are certain symmetry and nondegeneracy conditions under which spectral uniqueness holds. Perhaps the most tantalizing unsolved case is that of strictly convex planar domains, known as Birkhoff billiard tables. It turns out that there is a deep relationship between the Laplace and length spectra, which is encoded in the Poisson relation. In this talk, I will describe my work on both Laplace and length spectral invariants as well as limitations in using the Poisson relation for inverse problems.

Dans le domaine des interactions fluide/solide, une question cruciale est la description de l'écoulement d'un fluide confiné entre deux surfaces solides en mouvement. Dans ce contexte, il est d'usage de considérer le problème de Stokes stationnaire de la mécanique de fluide complété par des conditions aux bords reproduisant le déplacement des deux surfaces et il s'agit d'obtenir un développement asymptotique de la solution quand la distance entre les deux surfaces tend vers 0.

Dans cet exposé, je présenterai une méthode variationnelle permettant de discuter l'asymptotique de la solution du problème de Stokes dans les cas bidimensionnels et tridimensionnels. Nous verrons que ces différents cas recèlent des difficultés différentes inhérentes aux propriétés des champs de vecteurs à divergence nulle dans chaque dimension. Le contenu de ce travail est le fruit de collaborations avec E. Bocchi, D. Bonheure, C. Patriarca et G. Sperone.

In this talk we consider the four-waves spatially homogeneous kinetic equation arising in weak wave turbulence theory from the microscopic Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT) oscillator chains. This equation is sometimes referred to as the Phonon Boltzmann Equation. I will discuss the global existence and stability of solutions of the kinetic equation near the Rayleigh-Jeans (RJ) thermodynamic equilibrium solutions. This is a joint work with Pierre Germain (Imperial College London) and Joonhyun La (KIAS).