Séminaire d'analyse (archives)

Une courbe (complexe) plane est le lieu des zéros dans CP2 d’un polynôme homogène en trois variables. Toute courbe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini-Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet.

Dans cet exposé, on s'intéresse à des estimations de décroissance locale pour l’équation des ondes dans un cadre asymptotiquement Euclidien. En dimensions paires, on va au-delà de la décroissance optimale en fournissant le profil asymptotique à long terme, donné par une solution de l’équation des ondes libres. En dimensions impaires, on améliore les meilleures estimations connues. En particulier, on obtient un taux de décroissance qui dépasse la décroissance optimale en dimensions paires.

L’analyse repose principalement sur une comparaison de la résolvante correspondante avec la résolvante du problème libre pour les basses fréquences. De plus, tous les résultats s’appliquent à l’équation des ondes amorties avec un indice d’absorption à courte portée.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec J. Royer.

Je discuterai d'un travail en collaboration avec Yann Chaubet et Daniel Han-Kwan. Nous nous sommes intéressés à la dynamique en temps long de l'équation de Vlasov non-linéaire sur une variété à courbure négative lorsque le noyau d'interaction est lisse. J'expliquerai que, pour des petites données initiales lisses et supportées loin de la section nulle, les solutions de cette équation convergent à vitesse exponentielle vers un état d'équilibre du problème linéaire.

I will discuss how superfluidity manifests itself in the spectrum of the Hamiltonian for a test particle travelling through a Bose Einstein condensate. In the Bogoliubov-Fröhlich polaron model, a stable polaron with momentum P corresponds to a ground state of the Hamiltonian at fixed total momentum. I will explain a recent result in collaboration with Benjamin Hinrichs, which shows that a ground state eigenvalue exists if the momentum is less than mc, where m is the particle mass and c is the slope at zero of the dispersion relation of the Bogoliubov phonons.

The spectral theory of the Laplacian on hyperbolic surfaces is a well-studied topic. There are many classical results in various settings (compact, finite volume, infinite volume) on the nature of the spectrum. We will review some of the Theorems on hyperbolic surfaces and mention a few results on higher rank locally symmetric spaces.

We review old and new results on a family of minimization problems, where the minimization space is a set of N orthonormal functions in L2 (the fermions), which interact locally. Such problems arise naturally when we want to optimize a sum of eigenvalues (Lieb-Thirring inequality). We will explain how to show the existence of minimizers for this kind of problem, and give several examples. If time allows, we will display an ad hoc problem where the N = 2 problem is well-posed, but the N = 1 problem has no minimizer.

Durant ce séminaire nous étudierons la théorie de la diffusion pour une famille d'opérateurs de Schrödinger. Ces opérateurs possèdent des spectres présentant un changement de multiplicité et donc des seuils plongés. Certains opérateurs possèdent également des résonances aux seuils. Nous construirons alors une C-algèbre à laquelle appartient les opérateurs d'onde. L'étude du quotient de cette algèbre par l'idéal des opérateurs compacts mène directement à l'existence de théorèmes d'indice en théorie de la diffusion. Ces théorèmes peuvent alors s'interpréter comme des théorèmes de Levinson en présence de seuils plongés et de discontinuités de la matrice de diffusion. La dépendance de ces résultats en fonction de certains paramètres sera également discutée. En particulier, une surface de résonances sera mise en évidence, probablement pour la première fois. Aucun prérequis C-algébrique n'est nécessaire pour cette présentation.

For general initial data without any structural assumption, the Prandtl equations are usually ill-posed in the Sobolev space because the loss of tangential derivatives occurs in a non-local term. We will study the well-posedness property of the Prandtl equations in the critical Gevrey space of index 2. The proof combines a new cancellation mechanism with the abstract Cauchy-Kovalevskaya theorem, to overcome the difficulty of the loss of derivatives in the system.