Séminaire d'analyse (archives)

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The global stability of the Kaluza-Klein spacetime

 

Cécile Huneau
Etablissement de l'orateur
Ecole Polytechnique
Date et heure de l'exposé
Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Résumé de l'exposé
In this talk, I will present a recent work in collaboration with Annalaura Stingo and Zoe Wyatt, where we show the classical global stability, for Einstein equations, of the flat Kaluza–Klein spacetime, which corresponds to Minkowski spacetime in $R^{1+4}$ with one direction compactified on a circle. We consider small perturbations which are allowed to vary in all directions including the compact direction. These perturbations lead to the creation of massless modes and Klein–Gordon modes. On the analytic side, this leads to a PDE system coupling wave equations to an infinite sequence of Klein–Gordon equations with different masses. The techniques we use are based purely in physical space, using the vectorfield method.

Lemme d’Égorov, 21 ans plus tard

Yannick Guedes Bonthonneau
Etablissement de l'orateur
LAGA
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Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Résumé de l'exposé
Je parlerais du lemme d’Egorov en temps long, de variétés et de $h^{2/3}$.

Espaces des fonctions homogènes sur des demi-espaces et régularité maximale $\mathrm{L}^q$ globale en temps

Anatole GAUDIN
Etablissement de l'orateur
Institut de Mathématiques de Marseille
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salle des séminaires
Résumé de l'exposé
Cette présentation se focalisera principalement sur la réalisation d'espaces de fonctions homogènes sur des demi-espaces qui étend certaines approches établies sur l'espace entier et le demi-espace plat. La construction sur laquelle nous nous concentrons est particulièrement bien adaptée pour traiter les problèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires et/ou avec conditions au bord. Nous discuterons spécifiquement de l'interpolation de ces espaces, des résultats de trace et de la théorie des opérateurs adaptée pour atteindre des résultats de régularité maximale $\mathrm{L}^q$ tous globaux en temps, ainsi que de nombreuses autres variantes dans ce cadre, offrant une extension naturelle de certains résultats obtenus récemment par Danchin, Hieber, Mucha et Tolksdorf. Lorsque l'on considère le demi-espace plat, il est possible d'obtenir une décomposition de Hodge/Helmholtz pour les espaces de Besov homogènes avec des indices de régularité "suffisamment élevés", ce qui nous permet également de retrouver divers résultat de régularité maximale $\mathrm{L}^q$ global en temps, tel que, par exemple, un résultat $\mathrm{L}^1_t(\dot{\mathrm{B}}^{s}_{p,1})$, dont l'intérêt peut être central en mécanique des fluides visqueux.

Cette présentation contiendra une rapide introduction sur les principaux sujets à partir de leurs exemples fondamentaux : Espaces de Sobolev et Besov homogènes, Régularité Maximale $\mathrm{L}^q$ en temps, et la Décomposition de Hodge/Helmholtz par le Projecteur de Hodge-Leray (ou de Leray).

A kinetic perspective on Fourier extension operators

ITAMAR OLIVEIRA
Etablissement de l'orateur
University of Birmingham
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salle des séminaires
Résumé de l'exposé

The goal of the talk is to present a set of open problems about Fourier extension operators from a perspective motivated by features of the classical kinetic transport equation. This perspective naturally brings into play the Wigner transform, an ubiquitous operator in quantum mechanics which is closely connected to the classical Fourier transform. We will show how estimates for the Wigner transform can be converted into certain tomographic bounds for Fourier extension operators, and this naturally leads to the classical Mizohata-Takeuchi conjecture. We will also discuss recent progress in that direction, which is joint work with Bennett, Gutierrez and Nakamura.

On the spectral invariants for the Dirichlet to Neumann map in the unit ball.

Carlos Villegas Blas
Etablissement de l'orateur
Universidad Nacional Autónoma de México
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salle des séminaires
Résumé de l'exposé
In this talk we consider the Dirichlet to Neumann map (D-N) for the unit sphere in $R^3$. When we are sufficiently far from the origin, the spectrum of such an operator consists of eigenvalue clusters around the natural numbers. The distribution of the corresponding scaled eigenvalue shifts has an asymptotic expansion when the label of the cluster goes to infinity. The asymptotic expansion consists of distributions called spectral invariants. By using the averaging method, asymptotics of the Berezin symbol of the D-N map and a suitable symbol calculus, we compute the first terms of such an expansion in terms of the Radon transform (averages along geodesis of the unit sphere) of derivatives of the function that encodes the conductivity properties of the media in the unit ball.


Limite continue pour l'équation de Schrödinger non-linéaire discrète

Quentin Chauleur
Etablissement de l'orateur
INRIA Lille
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salle des séminaires
Résumé de l'exposé

Dans cet exposé j'aborderai un de mes résultats récents sur la limite de l’équation de Schrödinger discrète sur le réseau $h\mathbb{Z}^d$ pour d = 1, 2 quand la taille de la grille h tend vers 0. En particulier, j'esquisserai comment obtenir des taux de convergence explicites dans des espaces de Sobolev arbitraires de la solution discrète vers celle de l’équation continue pour tout temps. La démonstration repose sur deux ingrédients principaux : le contrôle de l’évolution des normes de Sobolev discrètes de la solution, ainsi que des estimations bilinéaires vérifiées par l’interpolation de Shannon. L’estimation obtenue est dite compatible, au sens où plus de régularité sur la condition initiale permet d’obtenir une meilleure convergence en h. Une large portion de l'exposé sera dédiée à des rappels sur le cas continu, notamment sur l'intérêt des estimations de dispersion pour NLS.

Approximation des solutions d’un système d’edp semi-classiques en présence de croisements réguliers

Clotilde Fermanian
Etablissement de l'orateur
Université Paris Est - Créteil Val de Marne
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Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Résumé de l'exposé

Dans cet exposé, on discutera un résultat récent obtenu en collaboration avec Caroline Lasser et Didier Robert. Il s’agit de la construction d’approximations du propagateur associé à un opérateur de Schrödinger semi-classique matriciel.

La méthode utilisée repose sur l’utilisation de paquets d’onde gaussiens et notre résultat justifie les méthodes numériques de « multiple spawning » utilisées en chimie quantique.

Effet tunnel entre deux puits magnétiques radiaux

Nicolas Raymond
Etablissement de l'orateur
LAREMA (Angers)
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Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Résumé de l'exposé

Dans cet exposé, nous considérerons le laplacien magnétique en dimension deux. Nous supposerons que le champ magnétique est strictement positif et constitué de deux puits radiaux symétriques (entre lesquels le champ magnétique est constant). Nous nous intéresserons à l'écart entre les deux premières valeurs propres dans la limite semiclassique. Nous établirons en particulier un équivalent de cet écart.

A hierarchical structure within Harmonic Analysis

Victor Lie
Etablissement de l'orateur
Purdue University
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salle Eole
Résumé de l'exposé

In this talk we will discuss a natural hierarchical structure that governs a vast teritory within the classical harmonic analysis area: (1) non-zero curvature problems: this usually involves the study of objects that lack (generalized) modulation invariance; promi- nent examples within this class are the “curved” Carleson oper- ator and the linear and bilinear Hilbert transforms along “non- flat” curves. (2) zero-curvature problems: this focuses on objects that, on top of the standard dilation and translation symmetries, also ex- hibit a (generalized) modulation invariance; prominent exam- ples within this class are the classical Carleson operator and the Bilinear Hilbert transform. (3) hybrid problems: this refers to the study of objects that share both zero and non-zero curvature features; prominent examples within this class are the Polynomial Carleson operator and the newly introduced Bilinear Hilbert–Carleson operator as well as the “hybrid” Trilinear Hilbert transform. In the first part of the talk we will elaborate on the main concepts and problems, with an emphasis on an intuitive and at the same time panoramic view of the subject. The second part of the talk will be centered around some very recent (joint) contributions of the speaker within the realm of the hybrid prob- lem category. In this context, we will discuss the key role played by the LGC-methodology in the resolution of some difficult questions regard- ing the behavior of suitable quadrilinear forms that serve as models for the celebrated open question on the boundedness of the Trilinear Hilbert transform.