Séminaire d'analyse (archives)

Peut-on déterminer la métrique d'un trou noir en observant des ondes aux infinis de la variété ? Dans cet exposé, je répondrai par la positive à cette question à travers l'exemple de trous noirs de Kerr-Newmann-de-Sitter, une classe de solutions exactes des équations d'Einstein décrivant un trou noir massif, électriquement chargé et en rotation. Dans un premier temps, je décrirai brièvement la géométrie de ces espaces-temps, puis la matrice de diffusion associée à des champs de Dirac sans masse se propageant dans cette variété. Dans une deuxième partie, je montrerai que la matrice de diffusion à une énergie fixée permet de déterminer uniquement un trou noir de Kerr-Newmann-de-Sitter. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec François Nicoleau.

Nous définissons une classe d'opérateurs discrets mimant les propriétés standards des opérateurs pseudo-différentiels. En particulier, nous pouvons définir la notion d'ordre et de régularité, et nous retrouvons la propriété fondamentale selon laquelle le commutateur de deux opérateurs discrets gagne un ordre de régularité. Nous montrons que les opérateurs différentiels standards agissant sur des fonctions périodiques, les opérateurs aux différences finies et les méthodes pseudo-spectrales entièrement discrètes entrent dans cette classe d'opérateurs pseudo-différentiels discrets. A titre d'exemples d'applications pratiques, nous revisitons les estimations d'erreur standard pour la convergence des méthodes de splitting. De plus, nous donnons un exemple de constructions de préconditionneurs inspirées de l'analyse de la forme normale pour traiter la question similaire pour des cas plus généraux. (travail en collaboration avec Erwan Faou)

La méthode des champs de vecteurs est une approche robuste permettant d'obtenir des estimations de décroissance pour les solutions d'équations d'ondes ou de Vlasov. Elle s'appuie sur le caractère géométrique de ces équations et a permis de traiter de nombreux problèmes non-linéaires. Nous verrons ici comment l'adapter à l'équation de Vlasov sans masse linéaire sur un trou noir de type Schwarzschild. En comparaison avec l'espace-temps de Minkowski, qui est une variété plate, les difficultés proviennent du plus petit nombre de symétries, de l'horizon des évènements ainsi que des trajectoires piégées.

Les fermions piégés suscitent encore récemment un vif intérêt en physique théorique. Ce qui amène à s'intéresser en autre à la localisation des fonctions propres des opérateurs de Schrödinger dans un régime semi-classique. Dans cet exposé, je présenterai et commenterai les résultats obtenus dans le cas simple d’une particule confinée toute seule, puis leur généralisation à une famille de particules sans interactions, condamnées à être coincées ensemble

Dans cet exposé je vais considérer le flot binormal, modèle classique pour la dynamique des tourbillons filamentaires dans les équations d'Euler 3D. Il s'agit d'un flot géométrique pour des courbes 3D, explicitement relié à la Schrödinger map à valeurs dans la sphère 2D, ainsi qu'à l'équation de Schrödinger cubique 1D. Bien que ces équations soient complétement intégrables, nous mettons en évidence des solutions avec une croissance explosive de la densité d'énergie. Cette densité d'énergie est donnée par l'amplitude des hautes fréquences de la dérivée du vecteur tangent, traduisant des variations à petites échelles de la courbe. Dans le contexte des tourbillons filamentaires, la variation du vecteur tangent est interprétée comme la variation de la direction de la vorticité, qui est connue selon le critère de Constantin-Fefferman-Majda de jouer un rôle important dans le développement des singularités pour les équations d'Euler. Ceci est un travail en collaboration avec Luis Vega.

Dans cet exposé, nous considèrerons le Laplacien magnétique, opérateur de Schrödinger en présence d'un champ purement magnétique. Nous verrons comment un champ magnétique qui ne s'annule pas divise le spectre en paquets, dans la limite semi-classique : des niveaux de Landau. La construction d'une forme normale permettra d'expliciter l'apport de chaque niveau de Landau dans l'ensemble du spectre. Nous en déduirons une loi de Weyl et une description des états semi-excités.

The inviscid quasi-geostrophic equations, widely used to study the atmospheric dynamic, have many common points with the surface Euler equation. The main difference concerns the Biot and Savart law that involves a fractional laplace operator instead of a full laplace operator. From this observation, it is possible to extend the classical theory of point-vortices for the Euler equation to the quasi-geostrophic case. The point-vortex system is a system of differential hamiltonian first order equations that give account to the natural case where the vorticity is sharply concentrated around a finite number of points and then can be approximated by Dirac masses. Nevertheless, a point-vortex dynamic is well-defined as long as there are no collapses of vortices, due to the singularity of the vorticity kernels. This present talk aims at presenting some of the most recent results concerning the point-vortex systems both for the Euler and quasi-geostrophic models, with a focus on the vortex collapses.

Nous nous intéresserons à l'équation de Helmholtz, un des plus simples modèles d'onde, posée à l'extérieur d'un obstacle. La méthode des éléments finis est un outils robuste et efficace pour résoudre une telle équation de manière numérique, cependant, des difficultés apparaissent lorsque l'on souhaite obtenir des estimations de convergence uniformes en la fréquence. Au cours des 10 dernières années, des résultats de Melenk et Sauter, décomposant les solutions de Helmholtz en composantes « hautes » et « basses » fréquences pour obtenir de telles estimations de convergence, ont eu un impact considérable. Obtenir ces décompositions dans un cadre général, par exemple pour l'équation à coefficients variables, semblait cependant pour l'instant hors de portée. Je présenterai un résultat récent obtenu avec Euan Spence et Jared Wunsch, où nous montrons, grâce à l'apport de l'analyse semi-classique et du calcul fonctionnel de Helffer et Sjöstrand, de telles décompositions dans le cadre très général de la dispersion par une boîte noire (« black-box scattering » de Sjöstrand et Zworski). Ce résultat nous permet en particulier d'obtenir de nouvelles estimations de convergence uniformes en la fréquence pour les éléments finis appliqués à l'extérieur d'obstacles pénétrables et impénétrables pour l'équation à coefficients variables.

Kinks are topological solitons, which appear in (nonlinear) one-dimensional Klein-Gordon equations, the Phi-4 and Sine-Gordon equations being the best-known examples. I will present new results which give asymptotic stability for kinks, with an optimal decay rate, in some cases. The proof relies on the distorted Fourier transform associated to the linearized equation around the kink; this method should be of interest for more general soliton stability problems. This is joint work with Fabio Pusateri.