Séminaire d'analyse (archives)

On étudie le comportement en temps grand des solutions de l'équation de Schrödinger avec potentiels à valeurs complexes. Dans un premier temps, on s'intéresse aux potentiels à décroissance rapide. On établit les développements de la résolvante au seuil et près des résonances positives. On obtient, sous différentes conditions, les développements en temps grand des solutions en supposant l'existence de résonances positives et d'une résonance et / ou une valeur propre au seuil zéro. Dans un second temps, on s'intéresse aux potentiels à décroissance lente. On établit des estimations de Gevrey de la résolvante aussi que les développements en temps grand des semi-groupes de Schrödinger et de la chaleur avec des estimations sous-exponentielles en temps sur le reste. Ces derniers résultats généralisent les résultats de X. P. Wang au cas où le potentiel vérifie une condition de Viriel au voisinage de l'infini. Ainsi, ces résultats couvrent le cas d'une valeur propre zéro de multiplicité géométrique quelconque.

Je présenterai comment adapter la technique de multiplicateurs, développée par Leray et Garding pour les opérateurs d'évolution strictement hyperboliques, au cadre des schémas aux différences finies pour des équations d'évolution. Le but est d'obtenir des estimations de stabilité en passant le moins possible par l'analyse de Fourier dans les variables spatiales. Je tacherai notamment d'expliquer la méthode sur les schémas à un ou deux pas de temps qui sont les seuls à l'heure actuelle où la technique semble pouvoir s'étendre aux schémas de type volumes finis en espace.

Nous montrons qu'en dimension supérieure ou égale à 3, il n'y a pas unicité pour le problème de Calderón local pour des métriques Riemanniennes à coefficients Hölder continus. Nous construisons des contre-exemples à l'unicité dans le cas de variétés toroïdales (M,g). Les coefficients de ces métriques sont lisses à l'intérieur de ces variétés et sont seulement Hölder continus sur le bord où sont effectuées les mesures. Plus précisément, nous montrons qu'il existe dans la classe conforme de g une infinité de métriques (\tilde{g} = c^4 g) telles que les applications Dirichlet-Neumann locales sur un bord coïncident. Les facteurs conformes correspondants sont harmoniques par rapport à la métrique g, mais ne vérifient pas le principe de prolongement unique.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Thierry Daudé (Université de Cergy-Pontoise) et Niky Kamran (McGill University).

We consider a class of quasi-linear, Hamiltonian Schrödinger equations on the d dimensional torus. We discuss the problem of existence and unicity of classical solutions of the Cauchy problem associated to the equation with initial conditions in the Sobolev space H^s, with s large. We also present results about the lifespan and stability of small solutions. The proofs of such results involves techniques of para-differential calculus combined with normal form theory.

Dans ${\mathbb R}^2$, deux espaces BMO peuvent être considérés, l'espace à 1 paramètre (basé sur des cubes ou des boules) et l'espace à 2 paramètres (basé sur des rectangles). Ces espaces jouent un rôle important dans l'étude des opérateurs singuliers et constituent des espaces limite adéquat pour l'échelle des espaces de Lebesgue $L^p$ quand $p\to \infty$. En effet, par rapport à $L^\infty$, ils ont l'avantage de se comprendre via un point de vue fréquentiel et une analyse temps-fréquence.

Si l'espace a 1 paramètre est bien compris et notament peut être conjugué aux rotations et plus généralement à n'importe quelle application bi-Lipschitz, c'est beaucoup moins clair pour l'espace biparamètrique. Nous expliquerons pourquoi la structure des rectangles, de l'espace BMO biparamètrique, n'est pas compatible avec la composition par une rotation et nous décrirons une inégalité qui permet de quantifier cela.

Ceci est un travail en collaboration avec Yujia Zhai.

Dans cet exposé, nous expliquons un résultat que nous avons obtenu récemment et qui concerne les équations d’ondes avec un Laplacien sous-Riemannien (i.e. sous-elliptique). Etant donnée une variété (M) , un sous-ensemble mesurable (\omega \subset M), un temps (T0) et un Laplacien sous-elliptique (\Delta) sur (M) , on dit que l’équation des ondes avec Laplacien (\Delta) est observable sur (\omega) en temps (T0) si toute solution (u) de (\partial{tt}^2 u − \Delta u = 0) avec une énergie initiale fixée satisfait (\int0^{T0} \intω |u|^2\,dx \,dt \geq C) pour une certaine constante (C > 0) indépendante de (u).

Il est connu depuis les travaux de Bardos-Lebeau-Rauch que l’observabilité de l’équation des ondes elliptique, i.e. avec un Laplacien Riemannien, en temps (T0) est quasiment équivalente à la Condition de Contrôle Géométrique (GCC), qui stipule que tout rayon de l’optique géométrique rentre dans (\omega) avant l’instant (T0). On montre que dans le cas sous-elliptique, dès lors que (M\backslash\omega) a un intérieur non-vide et (\Delta) est “sous-elliptique mais pas elliptique”, GCC n’est jamais vérifiée, ce qui implique que les équations des ondes sous-elliptiques ne sont jamais observables. La preuve consiste à construire des suites de solutions de l’équation des ondes dont l’énergie se concentre sur des géodésiques (pour la distance sur (M) associée à (\Delta)) qui passent un temps long dans (M\backslash\omega)

Considérons le processus de  Langevin suramorti $(X_t)_{t\ge 0}$ solution de l'équation différentielle stochastique  sur $\mathbb R^d$:
$$dX_t=-\nabla f(X_t)dt+\sqrt h dB_t.$$
C'est un processus  prototypique utilisé   pour modéliser l'évolution de systèmes statistiques.  La fonction $f:\mathbb R^d\to \mathbb R$ est le potentiel du système et $h>0$ sa température. Le processus de Langevin suramorti est métastable: il reste bloqué (piégé) dans des voisinages des minima locaux de $f$ sur de longues périodes de temps avant de s'en échapper. C'est une des raisons majeures qui rend inaccessibles l'observation de transitions entre les états macroscopiques du système ainsi que le calcul de quantités thermodynamiques par intégration directe des trajectoires de $(X_t)_{t\ge 0}$. De nombreux algorithmes ont été introduits ces dernières années  pour accélérer l'échantillonnage de dynamiques métastables (e.g.  les méthodes de Monte-Carlo cinétique et les \textit{accelerated dynamics algorithms} introduits par A.F. Voter et al. à Los Alamos). Ces algorithmes  reposent sur des estimées  précises de l'évènement de sortie d'un état macroscopique $\Omega\subset \mathbb R^d$ à basse température ($h\ll1$) et notamment sur le calcul asymptotique des taux de transition entre les états macroscopiques à l'aide de  la célèbre loi d'Eyring-Kramers (1935).
Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents marquant des avancées significatives    sur l'étude précise de l'évènement de sortie d'un état macroscopique $\Omega$ pour le processus de Langevin suramorti quand $h\ll1$, ainsi que les nombreuses questions qui restent ouvertes.
Mots clés: physique statistique/moléculaire, loi d’Eyring-Kramers, métastabilité, régime d’une petite température, méthodes de Monte-Carlo cinétique.