Séminaire d'analyse (archives)

We consider the long-time behavior of a fast, charged particle interacting with an initially spatially homogeneous background. We model the background by the screened Vlasov-Poisson equations, whereas the interaction potential of the point charge is assumed to be smooth. We prove the validity of the stopping power theory in physics which predicts a decrease of the velocity $V(t)$ of the point charge given by $\dot{V} \sim -|V|^{-3} V$. Our result holds for all initial velocities larger than a threshold value that is larger than the velocity of all background particles and remains valid until (i) the particle slows down to the threshold velocity, or (ii) the time is exponentially long compared to the velocity of the point charge.

The long-time behavior of this coupled system is related to the question of Landau damping that has remained open in this setting so far. Contrary to other results in nonlinear Landau damping, the long-time behavior of the system is driven by the non-trivial electric field of the plasma, and the damping only occurs in regions that the point charge has already passed.

Joint work with Raphael Winter (University of Vienna)

Je vais expliquer pourquoi les solutions du système de Dirac-Klein-Gordon convergent dans une limite de fort couplage vers celles de l'équation de Dirac non-linéaire. Je vais aussi traiter l'analogue 'many-body' de cette question. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jonas Lampart (Dijon), Loïc Le Treust (Marseille), et Simona Rota Nodari (Nice).

On introduira et on discutera une classe d'équations de Vlasov singulières (présentant une perte de dérivée au niveau du terme de force), dont on motivera l'étude par plusieurs exemples issus de la physique. On étudiera en particulier l'équation de Vlasov-Benney pour des données initiales vérifiant une condition de stabilité optimale (travail avec Kleber Carrapatoso et Frédéric Rousset).

Dans ce projet, on considère l’opérateur Schrödinger magnétique semi-classique en dimensions 2, dans le cas où le champ magnétique s’annule le long d’une courbe fermée lisse. En supposant que cette courbe possède un axe de symétrie, on prouve que l’effet tunnel se produit. Le résultat principal est de trouver une approximation explicite de la différence entre les deux premières valeurs propres. Cette différence permet de caractériser la période de l’effet tunnel.

Dans ce séminaire je présenterai un travail en collaboration avec Oana Ivanovici. Nous considérons l’équation des ondes, avec conditions de Dirichlet, à l’extérieur d’un cylindre en dimension trois, nous construisons une parametrice globale et nous en déduisons des estimations dispersives optimales pour les solutions.

Je présenterai de nouvelles estimations d’observabilité pour des équations elliptiques non homogènes posées sur un domaine $\Omega$ en 2 D, avec observation sur un sous domaine $\omega$. Pour un potentiel $V$ borné à valeurs réelles, on démontre que le coût de l’observation de l’opérateur $-\Delta + V$ est de l’ordre de $\exp(\|V\|_\infty ^{1/2 + \epsilon})$. La méthode de preuve est inspirée d’un travail récent de Logunov, Malinnikova, Nadirashvili et Nazarov portant sur la conjecture de Landis. Je présenterai les trois grandes idées de la preuve : une construction de domaine perforé basée sur l’ensemble nodal de la solution pour se ramener à un domaine dont la constante de Poincaré est petite, une transformation quasi-conforme pour se ramener à une équation harmonique, et des estimations de Carleman conjuguées à des inégalités de Harnack. Enfin, je présenterai l’application de ces nouveaux résultats au contrôle d’équations elliptiques semi-linéaires, dans l’esprit des travaux de Fernandez-Cara et Zuazua concernant la contrôlabilité à zéro d’équations de la chaleur semi-linéaires. L’exposé sera basé sur un travail en commun avec Sylvain Ervedoza.

Dans cet exposé, on s'intéressera à un problème de scattering par des obstacles dans le plan et plus particulièrement, à l'étude des résonances du Laplacien en dehors de ces obstacles (ce sont des valeurs propres généralisées). On présentera un résultat nouveau qui établit l'existence d'un trou spectral. Après quelques rebonds, on se retrouvera très vite au pays des fractales, ce qui nous amènera à faire une excursion dans le monde des surfaces hyperboliques. On y évoquera un outil récemment développé dans ce contexte et central dans la preuve du trou spectral : un principe d'incertitude fractal. Enfin, si le temps le permet, nous finirons chez le boulanger (et sa transformation) pour tâcher d'expliquer sur un modèle jouet les tenants de la preuve.

In this talk, I will present new results concerning the study of the resolvent of the damped-wave operator associated with the sub-elliptic Laplacian known as Baouendi-Grushin operator on the two-dimensional flat torus. From different hypothesis on the geometry of the damping region and the Hölder regularity of the damping term, I will show sharp resolvent estimates of the associated non-selfadjoint operator on the real axis. As an application, sharp energy-decay-rates of the damped-wave equation are obtained. The proofs are based on the study of two-microlocal semiclassical measures, normal form reductions and constructions of quasimodes in different parts of the phase-space.

This work has been done in collaboration with Chenmin Sun. Reference: arXiv:2201.08189.

Depuis des travaux récents, les principes d’incertitude ont gagné en intérêt dans la recherche de conditions géométriques pour le contrôle d’équations d’évolution linéaires. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l’obtention de principes d’incertitude valables dans des espaces de Gelfand-Shilov généraux. Nous discuterons notamment du cas des espaces de Gelfand-Shilov standards $S\nu^\mu$ où les deux paramètres $\mu,\nu>0$ satisfont $\mu+\nu \geq 1$ et mesurent respectivement la décroissance en espace et en Fourier des fonctions de $S\nu^\mu$. Ces principes d’incertitude nous permettrons d’obtenir des conditions géométriques suffisantes pour la contrôlabilité d’équations d’évolution régularisants dans des espaces de Gelfand-Shilov. Un des objectifs sera de comprendre comment la géométrie de l’ensemble de contrôle est reliée aux deux paramètres $\mu$ et $\nu$. En particulier, ces résultats s’appliqueront aux équations d’évolution associées à des opérateurs de Shubin anisotropes fractionnaires.

We present some results on the spectral analysis of the semiclassical Neumann magnetic Laplacian on a smooth bounded domain in dimension three. When the magnetic field is constant and in the semiclassical limit, we establish a four-term asymptotic expansion of the low-lying eigenvalues, involving a geometric quantity along the apparent contour of the domain in the direction of the field. In particular, we prove that they are simple.