Séminaire d'analyse (archives)

Les opérateurs quadratiques accrétifs sont des opérateurs différentiels non-autoadjoints définis comme le quantifié de Weyl de formes quadratiques définies sur l’espace des phases, à valeurs complexes et de parties réelles positives. Dans cet exposé, on s’intéressera aux propriétés régularisantes en temps courts des semi-groupes engendrés par ces opérateurs sur L2(Rn). Deux méthodes seront présentées. La première se base sur l'étude du symbole de Weyl des opérateurs d’évolution engendrés par les opérateurs quadratiques accrétifs (donnée par la formule de Mehler). La seconde, issue d’un travail en commun avec Joackim Bernier, consiste à décrire la décomposition polaire de ces opérateurs d’évolution pour se ramener à étudier des opérateurs autoadjoints. La motivation principale de ce travail vient de l’étude de la contrôlabilité à zéro des EDP paraboliques associées aux opérateurs quadratiques accrétifs, posées sur tout l’espace, dont on parlera rapidement.

Certaines équations de Schrödinger non linéaires admettent pour solutions des ondes progressives solitaires. On s’intéressera à l’existence et à la stabilité de telles solutions pour l'analogue discret de ces équations. Je vous présenterai comment la discrétisations de la non linéarité induit une inhomogénéité rendant impossible, a priori, l’existence d’ondes progressives. Enfin, je vous expliquerai comment les instabilités qu’elle engendre peuvent être contrôlées pour permettre le déplacement, sur de longues distances, d’ondes solitaires approchées.

Le système de Serre-Green-Naghdi (SGN) est un modèle fortement non-linéaire et faiblement dispersif pour la propagation des vagues. Il possède une structure Hamiltonienne, et le problème de Cauchy est bien posé dans des espaces de Sobolev d'indice suffisamment élevé. Pour autant, ce système n'est pas exploitable pour une utilisation dans des cas pratiques, parce que sa résolution numérique demande d'inverser un opérateur elliptique à chaque pas de temps. Nicolas Favrie et Sergey Gavrilyuk ont récemment proposé une stratégie pour construire efficacement des solutions approchées, via un système quasilinéaire de lois de bilan utilisant des variables additionnelles et un paramètre libre. Formellement, les solutions du système augmenté convergent vers les solutions de SGN lorsque ce paramètre tend vers l'infini. Nous discuterons une démonstration rigoureuse, en insistant sur l'importance du paramètre d'eau peu profond et de la préparation de la donnée initiale. Nous utiliserons des outils classiques de la théorie des limites singulières (typiquement bas Mach), adaptés à notre cadre où deux paramètres singuliers cohabitent, et à la présence de termes sources d'ordre zéro.

Travail récent avec M. Zerzeri. Soit \(V : \mathbf{R}^n → \mathbf{R}\) un potentiel assez analytique qui tend vers 0 à l’infini. Supposons que pour un \(E > 0\) on ait \(V^{−1} (] − \infty, E[) = U (E) \cup S(E)\), où \(U (E) \cap S(E) = \varnothing\), avec \(U (E)\) connexe borné (le puits) et \(S(E)\) connexe (la mer). La répartition des résonances pour \(−h^\Delta + V\) près \(E\) a été bien étudiée depuis plus de 30 ans. Si on augmente \(E\) alors un scénario naturel c’est que la décomposition persiste jusqu’à ce que les adhérances de \( U (E) \) et \( S(E) \) se touchent pour une énérgie critique \(E = E_0\). Sous des hypothèses naturelles, nous montrons que près de \(E_0\) la plupart des résonances sont proches de l’axe réel et obéissent à une loi de Weyl. En dimension 1 on a des résultats plus détaillés (Fujiie-Ramond 98).

The simplex Hilbert transform is a singular integral form related to the multilinear Hilbert transform and Carleson’s operator. Boundedness of the simplex Hilbert transform is is one of the major open problems in harmonic analysis. In this talk we discuss bounds for a superposition of simplex Hilbert transforms in low dimensions, and related singular integral forms. Joint work with Joris Roos.

Dans cet exposé nous nous proposerons de revisiter la théorie de Harris-Meyn-Tweedie sur les semi-groupes de Markov, et nous nous intéresserons plus particulièrement au cas sous-géométrique, c’est-à-dire, lorsque le retour vers l’équilibre n’est pas à vitesse exponentielle. Nous commencerons par établir l’existence d’un état d’équilibre et un taux de convergence vers celui-ci pour une classe d’opérateurs stochastiques à l’aide d’arguments simples, déterministes et constructifs. Nous montrerons comment en déduire certains résultats de Douc-Fort-Guillin sur les semi-groupe de Markov et comment cela peut être utile pour généraliser un résultat de convergence de Aoki-Golse sur l’équation de transport libre avec condition de diffusion sur le bord. Les résultats qui seront présentés sont le fruit d’un travail en collaboration avec J. Cañizo (Grenade).

La transformée de Riesz $\nabla \Delta^{-1/2}$ sur $\mathbb R^n$ peut être définie comme un opérateur integral, dont le noyau est de Calderon-Zygmund, ce qui implique que $\nabla \Delta^{-1/2}$ est continu sur $L^p(\mathbb R^n)$ pour tout $1<p<+\infty$. Dans les années 80, Strichartz se demanda si cette propriété sur la transformée de Riesz est transmise aux variétés riemanniennes, plus exactement, quelles sont les conditions géométriques nécéssaires ou suffisantes sur une variété riemannienne qui impliquent la continuité $L^p$ de la transformée de Riesz.

J'exposerai (une partie) de la littérature sur le sujet, puis je présenterai notre résultat (en collaboration avec Li Chen, Thierry Coulhon, et Emmanuel Russ) sur des variétés riemanniennes de type fractal (i.e. avec un noyau de la chaleur qui vérifie des estimations sous-gaussiennes). Je parlerai aussi du cas des graphes, qui peuvent être vus comme la version discrète des variétés riemaniennes, ce qui me permettra de donner des exemples d'application de nos résultats.

Si le temps le permet, je ferai un lien entre l'analyticité discrète (sur $L^2$) et les marches aléatoires paresseuses (lazy random walk).