Séminaire d'analyse (archives)

14h, Peter Topalov : On the group of almost periodic diffeomorphisms and its exponential map

We define the group of almost periodic diffeomorphisms on the Euclidean plane $\mathbb{R}^n$. We then study the properties of its Riemannian and Lie group exponential map and provide applications to fluid dynamics.

15h, Alexei Iantchenko : Semiclassical inverse problems for elastic surface waves in isotropic media

We carry out a semiclassical analysis of surface waves in Earth which is stratified near its boundary at some scale comparable to the wave length.

Propagation of such waves is governed by effective Hamiltonians which are non-homogeneous principal symbols of some pseudodifferential operators. Each Hamiltonian is identified with an eigenvalue in the discreet spectrum of a locally 1D Schr{\"o}dinger-like operator on the one hand, and generates a flow identified with surface wave bicharacteristics in the two-dimensional boundary on the other hand.

The eigenvalues exist under certain assumptions reflecting that wave speeds near the boundary are smaller than in the deep interior. This assumption is naturally satisfied by the structure of Earth's crust and mantle.

Using these Hamiltonians, we obtain pseudodifferential surface wave equations. In case of isotropic medium the equations decouple into Rayleigh and Love waves. In both cases we perform a comprehensive analysis of the recovery of the S-wavespeed from the semiclassical spectrum.

The approach follows the ideas of Colin de Verdière on acoustic surface waves and is joint work with Maarten V. de Hoop, Jian Zhai, Rice University, and Gen Nakamura, Hokkaido University

9h François Nicoleau, 10h10 Miloslav Znojil, 11h00 Thierry Ramond

14h David Krejcirik, 15h10 Joe Viola, 16h10 Michael Levitin

We first show a dimensionless weighted $L^2$ estimate for the Bakry Riesz vector on Riemannian manifolds with bounded geometry by exhibiting a concrete Bellman function. Then, using a Gundy-Varopoulos type stochastic representation of the Bakry Riesz vector, we use a sparse domination with continuous parameter which offers a new dimensionless, sharp $L^p$ estimate in the weighted setting.

The Efimov effect is one of the interesting spectral properties of three-body systems. It asserts that if all the two-body subsystems do not have negative eigenvalues and have a resonance at zero energy, then the total system has an infinite number of negative eigenvalues accumulating at the origin. The effect holds only in dimension three. In recent physics papers, it has been reported to remain true even in dimension two or one under certain conditions. I talk about these results from a mathematical point of view.

L'exposé commencera par rappeler des faits élémentaires sur la stabilité des équilibres des équations différentielles hamiltoniennes.

Ensuite, motivé par des applications aux fluides capillaires ou aux équations de Schrödinger non linéaires, je discuterai des propriétés de stabilité --- co-périodique ou modulationelle --- des ondes périodiques des systèmes de type Euler--Korteweg ou des équations de type Korteweg--de Vries. L'accent sera mis d'une part sur les liens avec l'intégrale d'action associée aux équations de profil et d'autre part sur les limites harmonique/faible amplitude et soliton/grande période.

La plupart des résultats sont issus d'une série de travaux principalement réalisés avec Sylvie Benzoni-Gavage (Lyon 1/IHP).

Via deux exemples, j'essaierai de montrer comment la théorie des déformations isomonodromiques peut s'appliquer à des domaines de recherche assez variés. Le premier exemple concerne l'étude de certaines distributions de probabilité liées aux matrices aléatoires (distribution de Tracy-Widom et ses généralisations). Le deuxième la géométrie énumérative et, notamment, les nombres d'intersection sur l'espace de Deligne-Mumford des courbes stables (conjecture de Witten).

On s’intéresse dans cet exposé au processus de Langevin sur-amorti à basse température $ h\to 0 $ associé à un potentiel $ f $ de Morse dans un domaine borné $ \Omega $. Le générateur infinitésimal associé est alors donné par l’opérateur différentiel semi-classique $ L = \nabla f\cdot \nabla - \frac h 2 \Delta $ qui est, à conjugaison près, un Laplacien de Witten.

Lorsque le domaine $ \Omega $ est un puits confinant du potentiel $ f $ avec un seul minimum local, il est connu que les trajectoires de ce processus, partant d’un point $ x \in \Omega $, sortent de $ \Omega $ (i.e. atteignent $ \partial \Omega $) dans un voisinage des minima globaux de $ f |_{\partial \Omega} $ avec une probabilité tendant vers $ 1 $ lorsque $ h\to 0 $.

On cherchera ici à obtenir et à généraliser ces résultats à des domaines $ \Omega $ plus généraux lorsque le processus suit initialement une distribution naturelle dans $ \Omega $ appelée distribution quasi-stationnaire. Cela revient à étudier précisément certaines propriétés liées au bas du spectre de l’opérateur $ L $. On verra aussi que les résultats obtenus pour la distribution quasi-stationnaire peuvent s’étendre à certaines conditions initiales déterministes. (Travail en collaboration avec Giacomo Di Gesù, Tony Lelièvre et Boris Nectoux)