Séminaire d'analyse (archives)

We first show a dimensionless weighted $L^2$ estimate for the Bakry Riesz vector on Riemannian manifolds with bounded geometry by exhibiting a concrete Bellman function. Then, using a Gundy-Varopoulos type stochastic representation of the Bakry Riesz vector, we use a sparse domination with continuous parameter which offers a new dimensionless, sharp $L^p$ estimate in the weighted setting.

The Efimov effect is one of the interesting spectral properties of three-body systems. It asserts that if all the two-body subsystems do not have negative eigenvalues and have a resonance at zero energy, then the total system has an infinite number of negative eigenvalues accumulating at the origin. The effect holds only in dimension three. In recent physics papers, it has been reported to remain true even in dimension two or one under certain conditions. I talk about these results from a mathematical point of view.

L'exposé commencera par rappeler des faits élémentaires sur la stabilité des équilibres des équations différentielles hamiltoniennes.

Ensuite, motivé par des applications aux fluides capillaires ou aux équations de Schrödinger non linéaires, je discuterai des propriétés de stabilité --- co-périodique ou modulationelle --- des ondes périodiques des systèmes de type Euler--Korteweg ou des équations de type Korteweg--de Vries. L'accent sera mis d'une part sur les liens avec l'intégrale d'action associée aux équations de profil et d'autre part sur les limites harmonique/faible amplitude et soliton/grande période.

La plupart des résultats sont issus d'une série de travaux principalement réalisés avec Sylvie Benzoni-Gavage (Lyon 1/IHP).

Via deux exemples, j'essaierai de montrer comment la théorie des déformations isomonodromiques peut s'appliquer à des domaines de recherche assez variés. Le premier exemple concerne l'étude de certaines distributions de probabilité liées aux matrices aléatoires (distribution de Tracy-Widom et ses généralisations). Le deuxième la géométrie énumérative et, notamment, les nombres d'intersection sur l'espace de Deligne-Mumford des courbes stables (conjecture de Witten).

On s’intéresse dans cet exposé au processus de Langevin sur-amorti à basse température $ h\to 0 $ associé à un potentiel $ f $ de Morse dans un domaine borné $ \Omega $. Le générateur infinitésimal associé est alors donné par l’opérateur différentiel semi-classique $ L = \nabla f\cdot \nabla - \frac h 2 \Delta $ qui est, à conjugaison près, un Laplacien de Witten.

Lorsque le domaine $ \Omega $ est un puits confinant du potentiel $ f $ avec un seul minimum local, il est connu que les trajectoires de ce processus, partant d’un point $ x \in \Omega $, sortent de $ \Omega $ (i.e. atteignent $ \partial \Omega $) dans un voisinage des minima globaux de $ f |_{\partial \Omega} $ avec une probabilité tendant vers $ 1 $ lorsque $ h\to 0 $.

On cherchera ici à obtenir et à généraliser ces résultats à des domaines $ \Omega $ plus généraux lorsque le processus suit initialement une distribution naturelle dans $ \Omega $ appelée distribution quasi-stationnaire. Cela revient à étudier précisément certaines propriétés liées au bas du spectre de l’opérateur $ L $. On verra aussi que les résultats obtenus pour la distribution quasi-stationnaire peuvent s’étendre à certaines conditions initiales déterministes. (Travail en collaboration avec Giacomo Di Gesù, Tony Lelièvre et Boris Nectoux)

Soit U un ouvert borné du plan. On étudie les valeurs propres du Laplacien dans U avec les conditions de Robin Dn u=A u où Dn est la dérivée normale sortante et A>0 est un grand paramètre. On s'intéressera au régime asymptotique quand le paramètre A devient grand. Plusieurs auteurs ont étudié ce problème quand U est à bord lisse: dans ce cas le comportement des valeurs propres est géré par l'opérateur effectif T-AK agissant sur le bord de U, où T est le Laplacien 1D et K est la courbure. Notre but est de comprendre l'asymptotique des valeurs propres quand U est un domaine à coins (polygone curviligne). On introduit la notion d'un coin non-résonant (les coins dont l'ouverture est supérieure à \pi/2 possèdent cette propriété) et on l'utilise pour construire l'opérateur effectif: si tous les coins sont non-résonants, cet opérateur à la même expression que dans le cas lisse mais avec une condition de Dirichlet à chaque sommet. On discutera également certains liens entre notre problème, la théorie spectrale des variétés à bouts cylindriques et les valeurs propres des Laplaciens dans domaines convergeant vers un graphe. Ce travail est une collaboration avec Magda Khalile et Thomas Ourmières-Bonafos (Orsay).

Théorie de la diffusion pour des systèmes quantiques dissipatifs

Nous présenterons dans cet exposé la théorie du scattering pour une équation de Schrödinger engendrée par un opérateur dissipatif. De telles équations sont très souvent utilisées en mécanique quantique pour décrire des phénomènes dissipatifs, par exemple la diffusion ou l'absorption d'un neutron par un noyau lourd. Nous verrons que la présence ou l'absence de singularités spectrales dans le spectre du générateur de la dynamique est liée à la validité de la propriété de complétude asymptotique des opérateurs d'ondes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jürg Fröhlich.

Le but de mon exposé est de présenter des résultats obtenus avec Andrew Comech (Texas A&M) dans l’analyse de la stabilité asymptotique des états stationnaires de modèles de Dirac non linéaires.

Nous analysons par des méthodes de continuation unique et de bifurcation l’apparition d’instabilités linéaires depuis la limite non relativiste.

In this talk, I will present some aspects of dispersion for the Dirac operator. I will start by partially reviewing what is known for the Dirac operator in a Minkowkski space-time. Then, I will introduce the Dirac operator in a curved space-time, and present a result of dispersion for specific cases such as assymptotically flat or warped product geometries. This is a joint work with F. Cacciafesta (Padova).

Dans cet exposé on rappellera les résultats classiques sur le trou spectral des revêtements finis des variétés Riemaniennes compactes et le lien avec le spectre des graphes. On montrera ensuite qu'un phénomène analogue se produit lorsque l'on étudie les résonances de revêtement finis de surfaces hyperboliques géométriquement finies.