Séminaire d'analyse (archives)

On présente quelques résultats qui permettent d'améliorer, d'un point de vue probabiliste, les injections de Sobolev de certains opérateurs elliptiques. En l'occurrence, on s'intéressera à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur une variété compacte et au Laplacien plus un potentiel confinant sur R^d (comme l'oscillateur harmonique).

Cet exposé survolera de récentes avancées relatives à la description du spectre discret du laplacien magnétique, dans la limite semi-classique. Il atterrira avec la description de quelques résultats en dimension deux : les formes normales de Birkhoff, issues d’une collaboration avec S. Vu Ngoc, et les constructions BKW, obtenues le mois dernier avec Y. Bonthonneau

In this paper we consider the Witten Laplacian on 0-forms and give sufficient conditions under which the Witten Laplacian admits a compact resolvent. These conditions are imposed on the potential itself, involving the control of high order derivatives by lower ones, as well as the control of the positive eigenvalues of the Hessian matrix. This compactness criterion for resolvent is inspired by the one for the Fokker-Planck operator. Our method relies on the nilpotent group techniques developed by Helffer-Nourrigat [Hypoellipticité maximale pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs, 1985]

Je commencerai par une revue rapide, introductive et historique sur le problème de Mumford-Shah, puis je présenterai 2 résultats nouveaux. L’un sur la rigidité des minimiseurs globaux en dimension 3 dont l‘ensemble singulier est contenu dans un demi-plan, et l’autre en dimension 2 sur un problème différent qui a été résolu en l’interprétant comme un problème dual à Mumford-Shah.

Soit Ω un guide d'ondes cylindrique infini correspondant à un ouvert de R^3 de la forme Ω := ω x R, où ω est un ouvert borné de R^2. Dans cet exposé, nous considérons le problème inverse consistant à déterminer de façon unique un potentiel q apparaissant dans l'équation de Schrödinger stationnaire -Δu+qu=0 sur Ω à partir d'observations des solutions sur des parties du bord ∂Ω. On présentera aussi différentes applications de ce problème comme: La détermination d'une conductivité a apparaissant dans l'équation -div(a∇u)=0 sur Ω; La détermination d'une classe importante de potentiels q à partir d'observations restreintes à une partie bornée de ∂Ω; La détermination de potentiels à support cylindrique apparaissant dans un guide d'ondes de type plaque délimité par deux hyperplans.

L’analyse des petites valeurs propres du Laplacien de Witten intervient de manière cruciale dans la description de dynamiques métastables. Dans cet exposé, on rappelera l’approche de Helffer-Klein-Nier, Hérau-Hitrik-Sjöstrand pour traiter ce problème, puis on donnera quelques généralisations à des situations dégénérées.

On montre de nouveaux résultats de rigidité du bord pour des metriques sans points conjugués avec bords non-convexes: le but est d’identifier une métrique à partir de données au bord, comme la fonction distance restreinte au bord ou l’application de scattering pour le flot géodésique. On utilise des outils d’analyse microlocale pour étudier les transformations rayons-X géodesiques. C'est un travail en commun avec M. Mazzucchelli et L. Tzou.

On considère des hamiltoniens quantiques dépendant du temps de la forme $H(t) = H0 + V(t)$ où $H0$ est un hamiltonien stationnaire et $V(t)$ une perturbation dépendant du temps. L'objet de l'exposé est de préciser le comportement en temps grand des solutions de l'équation de Schrödinger relative à $H(t)$, mesuré dans l'échelle des espaces de Sobolev engendrés par $H0$. \ On présentera des résultats généraux et des résultats reliés aux propriétés spectrales de $H0$ en particulier lorsque $H_0$ est une combinaison d'oscillateurs.

Étant données une fonction lisse à valeurs réelles et une métrique riemannienne sur une variété compacte sans bords, on peut définir un champ de gradient mais aussi une famille d'opérateurs elliptiques nommés laplaciens de Witten. Sous des hypothèses de type Morse-Smale, j'expliquerai pourquoi le spectre de Witten converge vers le spectre du champ de gradient agissant sur des espaces de Sobolev anisotropes. Ce spectre limite est connu sous le nom de spectre de Pollicott-Ruelle et il apparait naturellement dans l'étude de la limite en temps long des systèmes dynamiques hyperboliques. Si le temps le permet, j'expliquerai aussi quelles conséquences tirer de ces résultats pour l'étude de problèmes de topologie différentielle. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nguyen Viet Dang (Lyon)