Dans cet exposé, on s’intéressera à un problème de diffusion inverse à énergie fixée pour des variétés de Stackel de dimension 3 ayant la topologie d'un cylindre torique et possédant une structure asymptotiquement hyperbolique aux deux bouts radiaux. Les variétés de Stackel ont été introduites en 1891 par Stackel et sont d'un grand intérêt dans la théorie de séparation des variables. En effet, la structure de Stackel, introduite en 1891, associée à une condition supplémentaire, dite condition de Robertson, implique la séparabilité multiplicative de l'équation de Helmholtz. Autrement, on peut transformer cette dernière en un système de trois EDOs et ainsi se ramener à l'étude d'un problème unidimensionnel. De plus, la structure asymptotiquement hyperbolique aux deux bouts radiaux nous permet de définir la matrice de diffusion pour toute énergie non nulle. On montre alors que la connaissance de la matrice de diffusion à une énergie fixée non nulle est suffisante pour déterminer de façon unique la métrique. L'idée principale de la preuve consiste à complexifier les deux moments angulaires (correspondants aux constantes de séparation de l'équation de Helmholtz) et à utiliser des résultats d'unicité pour des fonctions holomorphes de plusieurs variables. Dans cet exposé, on commencera par rappeler la définition de la structure de Stackel ainsi que la structure asymptotiquement hyperbolique. Dans un second on montrera comment procéder à la séparation des variables pour l'équation de Helmholtz puis on introduira la fonction de Weyl-Titchmarsh et nous verrons qu'il s'agit d'un outil puissant pour la résolution des problèmes inverses spectraux (Théorème de Borg-Marchenko). Enfin, on donnera des idées de preuve du résultat principal et en particulier de la méthode de Complexification du Moment Angulaire.
Dans cet exposé, nous étudierons la propagation d'états cohérents pour un système de deux équations de Schrödinger couplées, dans la limite semi-classique. Les couplages seront induits par une non-linéarité cubique ainsi que par un potentiel matriciel dont les valeurs propres peuvent présenter un "croisement" en un point donné.
Nous nous attacherons à répondre à une question concernant la stabilité de la solution: on considère un état cohérent bien localisé qui "vit" dans un espace propre du potentiel; à ordre dominant, la solution associée garde-t-elle la même structure bien localisée, et reste-t-elle dans le même espace propre (adiabaticité) ?
Nous étudierons des situations variées pour lesquelles on montrera qu'il y a adiabaticité, et d'autres où des phénomènes de transition ont lieu. Nous ferons un parallèle avec les résultats bien connus du cas linéaire à chaque fois.
On obtient une dérivation rigoureuse de l'équation de Boltzmann linéaire sans cut-off en partant d'un système de particules, interagissant via un potentiel à portée infinie, quand le nombre de particules N tend vers l'infini sous le scaling Boltzmann-Grad. La principale difficulté vient du fait que dans notre contexte, à cause de la portée infinie du potentiel, une singularité non intégrable apparaît dans le noyau de collision angulaire, ce qui rend caduc l'utilisation seule de la stratégie de Lanford. Notre preuve repose alors sur une combinaison de la stratégie de Lanford avec des outils développés récemment par Bodineau, Gallagher et Saint-Raymond pour étudier le processus des collisions et de nouveaux arguments de dualité pour étudier les termes additionnels associés à la partie portée infinie qui mènent à des estimations faibles explicites.
Département de Génie Mathématique et Modélisation (GMM) de l'INSA de Toulouse
Date et heure de l'exposé
Lieu de l'exposé
Salle des séminaires
Résumé de l'exposé
La dynamique des solutions de l'équation des vagues dépend de plusieurs paramètres physiques, dont l'amplitude des vagues relativement à la profondeur. Le régime "toit rigide" pour cette équation s'obtient en faisant tendre ce dernier paramètre vers 0. Il se trouve que les solutions dans cette limite sont nulles, et que la convergence des solutions du système initial est faible mais non forte dans cette limite. On met en évidence ce défaut de convergence.
Il est bien connu que le spectre des opérateurs non-normaux peut être très sensible par rapport aux perturbations même extrêmement petites.
Nous allons étudier le spectre des grand matrices de Toeplitz non-normales soumis à des petites perturbations aléatoire. En particulier nous nous intéressons au cas du bloc de Jordan et au cas des grandes matrices bi-diagonales. Nous allons discuter quelques résultats récents sûr la répartition des valeurs propres en moyenne et en probabilité obtenu en collaboration avec Johannes Sjöstrand.
Dans ce travail, nous nous intéressons au problème du comportement en temps grand des solutions d'équations de Fokker-Planck. Nous traitons plusieurs familles d'équations qui correspondent à différents types de diffusion (classique, fractionnaire ou discret). Les équations discrète et fractionnaire convergent en un certain sens vers l'équation de Fokker-Planck classique. Nous traitons donc dans un même cadre, d'une part les équations de Fokker-Planck discrète et classique et d'autre part les équations fractionnaire et classique. Nous obtenons un résultat de convergence vers l'équilibre exponentiel avec taux de décroissance uniforme en le paramètre qui permet de passer de l'équation discrète ou fractionnaire vers l'équation classique. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Stéphane Mischler.
Nous étudions le problème de la réduction de dimension pour l'équation de Gross-Pitaevskii (GPE) décrivant un condensat de Bose-Einstein confiné dans un piège magnétique fortement anisotrope. Puisque le gaz est supposé être dans un régime d'interaction forte, nous devons analyser une combinaison de deux limites singulières : une limite semi-classique dans la direction de transport et une limite de confinement dans la direction transverse. Nous prouvons que les deux limites commutent et donnons les taux de convergences. Nous obtenons comme sous-produit des modèles approchés en dimensions réduites avec des estimations d'erreurs a priori.
Ce travail est le fruit d'une collaboration avec Weizhu Bao et Florian Méhats.
Les opérateurs (h-)pseudodifférentiels et de Berezin-Toeplitz apparaissent comme observables quantiques lorsque l'espace des phases est respectivement un fibré cotangent ou une variété symplectique compacte. Une question naturelle est de comprendre quelles informations le spectre de tels opérateurs (dans la limite semi-classique) livre sur le système classique sous-jacent. Je préciserai cette question et j'évoquerai quelques résultats récents, en particulier un travail en collaboration avec Alvaro Pelayo et San Vu Ngoc concernant les systèmes semi-toriques en dimension 4.
On considère l’équation de Schrödinger discrète unidimensionnelle (linéaire ou non linéaire):
i∂t qn = −(qn+1 + qn−1) + V (θ + nω)qn (+|qn|2qn ), n ∈ Z,
avec ω un vecteur rationellement indépendent et V une fonction analytique réelle sur le tore. En décrivant les croissances différentes de la norme de diffusion
||q(t)||s = (Σn n2s|q n (t)|2)1/2 , s ≥ 1
dans les cas diff ́erents, on parle de la localisation et du transport dans ce système hamiltonien de dimension infinie selon certaines propriétés spectrales de l’opérateur de Schrödinger. Ces travaux sont concernés avec les applications des théories de KAM pour la diagonalisation par blocs de la matrice de dimension infinie, et pour la presque réductibilité du cocycle de Schrödinger.
