In this talk we analyse the spectrum of the dissipative Schrödinger operator on binary tree-shaped networks. As applications, we study the stability of the Schrödinger system using a Riesz basis as well as the transfer function associated to the system. Moreover, we study the dispersive effects associated to the Schrödinger operator with potential on star-shaped network and to the free Schrödinger operator on a tadpole graph.
On abordera le problème de la formation des Mach stems dans un fluide compressible, notamment via la formation de singularités sur le front d'une onde de choc. La justification rigoureuse d'une telle formation d'un Mach stem passe par un problème d'optique géométrique fortement non-linéaire dont on montrera qu'il admet des solutions approchées à tout ordre. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Mark Williams (University of North Carolina).
In this talk, the dissipative wave equations in an outside of compact regions with smooth boundary are treated. Assume that the dissipation coefficient depends only on the space variable. First, in this setting, a sufficient condition showing uniformly decaying estimates of the local energy is given. As an application of this condition, a decaying estimate of the local energy near the boundary is obtained if the dissipation coefficient is positive near concave part of the boundary in some sense. Second, the cases that the dissipation coefficient is not small in far field are considered. In this case, an optimal decay of the total energy corresponding to the decay rate for high frequency waves is discussed.
Dans cet exposé, on s’intéressera à un problème de diffusion inverse à énergie fixée pour des variétés de Stackel de dimension 3 ayant la topologie d'un cylindre torique et possédant une structure asymptotiquement hyperbolique aux deux bouts radiaux. Les variétés de Stackel ont été introduites en 1891 par Stackel et sont d'un grand intérêt dans la théorie de séparation des variables. En effet, la structure de Stackel, introduite en 1891, associée à une condition supplémentaire, dite condition de Robertson, implique la séparabilité multiplicative de l'équation de Helmholtz. Autrement, on peut transformer cette dernière en un système de trois EDOs et ainsi se ramener à l'étude d'un problème unidimensionnel. De plus, la structure asymptotiquement hyperbolique aux deux bouts radiaux nous permet de définir la matrice de diffusion pour toute énergie non nulle. On montre alors que la connaissance de la matrice de diffusion à une énergie fixée non nulle est suffisante pour déterminer de façon unique la métrique. L'idée principale de la preuve consiste à complexifier les deux moments angulaires (correspondants aux constantes de séparation de l'équation de Helmholtz) et à utiliser des résultats d'unicité pour des fonctions holomorphes de plusieurs variables. Dans cet exposé, on commencera par rappeler la définition de la structure de Stackel ainsi que la structure asymptotiquement hyperbolique. Dans un second on montrera comment procéder à la séparation des variables pour l'équation de Helmholtz puis on introduira la fonction de Weyl-Titchmarsh et nous verrons qu'il s'agit d'un outil puissant pour la résolution des problèmes inverses spectraux (Théorème de Borg-Marchenko). Enfin, on donnera des idées de preuve du résultat principal et en particulier de la méthode de Complexification du Moment Angulaire.
