Séminaire d'analyse (archives)

On étudie la dissipation locale de l'énergie pour des EDP de type gradient sur des domaines non bornés. On part de l'hypothèse (vérifiée dans de nombreux exemples classiques) que le carré du flux d'énergie est majoré par une quantité linéaire en la dissipation d'énergie. On établit alors des bornes simples et universelles sur le flux d'énergie intégré en temps qui impliquent que, si la dimension de l'espace n'est pas trop grande, notre "système dynamique étendu" se comporte la plupart du temps comme un système gradient. En particulier, on peut estimer le temps passé par toute trajectoire en dehors d'un voisinage donné de l'ensemble des points d'équilibre. A titre d'application, on étudie le comportement asymptotique en temps des solutions de l'équation de Navier-Stokes à deux dimensions dans un cylindre infini. Cet exposé est basé sur une collaboration en cours avec Sinisa Slijepcevic (Zagreb).

On étudiera la stabilité de mesures invariantes dans un sens large pour l'équation de Benjamin-Bona-Mahony. On commencera par construire une mesure invariante par le flot de BBM. Cette mesure est induite par une variable aléatoire dont les coefficients de Fourier sont indépendants les uns des autres. On étudiera alors la stabilité de cette invariance lorsqu'on ajoute de faibles corrélations entre ces coefficients. Puis on s'interressera à la persistance de l'indépendance des modes de Fourier pour une gamme de mesures plus large lorsque la non linéarité de l'équation est supposée faible.

Dans cet exposé on analyse le spectre d'opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique constant dans des ouverts de type diédraux. Pour comprendre l'influence d'une arête courbe sur la première valeur propre de l'opérateur dans la limite semi-classique, il faut connaître le bas du spectre d'un nouvel opérateur modèle : l'opérateur de Schrödinger magnétique avec champ constant sur un dièdre infini. Par comparaison avec des opérateurs de Sturm-Liouville singuliers sur le demi-axe on obtient des majorations du bas du spectre de l'opérateur sur le dièdre. On applique ces résultats à l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant et petit paramètre dans des domaines bornés de l'espace possédant des arêtes courbes. On obtient le premier terme de l'asymptotique pour diverses orientations du champ magnétique et on montre dans certains cas que la première valeur propre est inférieure aux valeurs propres associées à des ouverts réguliers.