Le but de cet exposé est de donner quelques idées sur la collision de solitons
contre un potentiel non linéaire, et pouvoir quantifier le défaut d'élasticité
après la collision.
Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats obtenus avec Vittoria Pierfelice, concernant
l'équation des ondes et l'équation de Klein-Gordon sur les espaces hyperboliques. Comme pour
l'équation de Schrödinger, la dispersion en temps grand est meilleure dans le cadre hyperbolique
que dans le cadre euclidien. On en déduit des inégalités de Strichartz plus larges et des résultats
d'existence plus forts pour les équations semi-linéaires associées. En particulier, le phénomène
d'explosion de John, généralisé par Strauss et Sideris, disparaît dans le cadre hyperbolique.
On considère un nombre arbitraire (fini) d'équations de
Schrödinger bilinéaires unidimensionnelles avec un seul contrôle. En
adaptant des arguments de type Lyapunov, on montre la contrôlabilité
globale approchée du système considéré. La méthode du retour de J.-M.
Coron permet, grâce à la construction d'une trajectoire de référence
adéquate, de contrôler ce système de manière exacte au voisinage de
portes logiques quantiques. Ces deux résultats, conjointement à un
argument de perturbation, conduisent à la contrôlabilité exacte
globale du système considéré pour un potentiel arbitraire. Ce résultat
a été obtenu en collaboration avec V. Nersesyan (UVSQ).
Dans cet exposé je présenterai un modèle de type Hartree pour un gaz
comprenant une infinité de particules quantiques, et je discuterai du phénomène
de dispersion dans ce système infini. Les outils principaux sont 1) une
nouvelle inégalité de Strichartz pour des familles de fonctions orthonormées
et 2) la conservation de l'énergie (libre) relative. Travaux en collaboration
avec Rupert Frank (Caltech), Elliott H. Lieb (Princeton), Julien Sabin (Cergy)
et Robert Seiringer (Vienne).
Le système de la magnétohydrodynamique (MHD) idéal incompressible est un modèle classique et fondamental
de la physique des plasmas. Sa dérivation formelle à partir de systèmes de type Navier-Stokes-Maxwell incompressibles
est bien connue. Dans cet exposé, nous verrons comment une analyse asymptotique de tels systèmes, et une
étude précise de la stabilité faible de la force de Lorentz, permet une dérivation rigoureuse et complète de la MHD.
Il s’agit d’une collaboration avec Slim Ibrahim et Nader Masmoudi.
