Séminaire d'analyse (archives)

On considère un opérateur auto-adjoint $H0$ dont le spectre est absolument continu, et l’opérateur perturbé H défini par $H = H0 + V$ où $V$ est l’opérateur de multiplication par la fonction à valeurs complexes $V$. Par exemple, l’opérateur de Schrödinger : $H = −∆ + V$. Sous l’hypothèse que $V ∈ L^p(R^d; C)$, nous savons que $V$ est une perturbation relativement compacte de $H0$, donc $σ{ess}(H) = σ{ess—(H0)$ et les points d’accumulation d’une suite de valeurs propres de $H$ appartiennent à $σ{ess}(H0)$.

Comme $V$ est à valeurs complexes, $H$ n’est a priori pas auto-adjoint, donc l’ensemble $σd(H)$ des valeurs propres de $H$ est inclus dans $C \ σ{ess}(H0)$. Dans cet exposé, je vais donner des informations quantitatives sur le comportement des valeurs propres au voisinage de $σ{ess}(H0)$ sous forme d’inégalité de type Lieb-Thirring. En particulier, nous nous intéresserons à l’opérateur de Dirac $Dm = −i \sumk \alphak \partial{xk} +m \beta$ et au Laplacien fractionnaire $H_0 =(−∆)^s$ avec s>0. Pour obtenir nos résultats, nous utilisons principalement un résultat de type Blaschke sur les zéros d’une fonction holomorphe. Si nous avons le temps, je présenterai une autre méthode basée sur un résultat d’analyse fonctionnelle.

Résumé (pdf)

On étudie la propagation du front d'onde de Gabor pour des équations de Schrödinger dont l'hamiltonien est donné par la quantification de Weyl d'une forme quadratique dont la partie imaginaire est négative. On établit une inclusion entre le front d'onde de Gabor de la solution et celle de la donnée initiale qui montre que les singularités de Gabor se propagent uniquement dans l'espace singulier associé à l'opérateur quadratique, et que si l'intersection de cet espace singulier avec le front d'onde de la donnée initiale est vide alors la solution appartient à l'espace de Schwartz pour tout temps strictement positif.

On s'intéressera à une équation de Boltzmann linéaire à basse température assez proche de l'équation de relaxation linéaire. Une des propriétés principales de notre équation est la structure supersymétrique inhérente. On discutera aussi de résultats près de 0 pour le spectre et la résolvante à l'aide d'outils d'analyse semi-classique.