Séminaire d'analyse (archives)

On étudie un problème de diffusion locale à énergie fixée pour l'équation de Schrödinger sur Rn avec un potentiel radial q(r). On suppose que le potentiel q(r) peut s'écrire comme q(r)=q1(r) + q2(r) avec q1(r) à support compact, q2(r) à courte portée et s'étendant holomorphiquement dans le domaine complexe Re z ≥ 0$. Soient q, q' deux potentiels dans la classe ci-dessus. On note δl et δl' les phases de diffusion associées. On montre que pour tout a>0, δl - δl' = o(1/ln-3(ae/2l)2l) lorsque l → +∞ si et seulement si q(r)=q'(r) pour presque tout r ≥ a. La preuve est proche du célèbre résultat de Borg-Marchenko et repose fortement sur la localisation des pôles de Regge qui peuvent être vus comme des résonances lorsque l'on complexifie le moment angulaire.

On considère un opérateur auto-adjoint $H0$ dont le spectre est absolument continu, et l’opérateur perturbé H défini par $H = H0 + V$ où $V$ est l’opérateur de multiplication par la fonction à valeurs complexes $V$. Par exemple, l’opérateur de Schrödinger : $H = −∆ + V$. Sous l’hypothèse que $V ∈ L^p(R^d; C)$, nous savons que $V$ est une perturbation relativement compacte de $H0$, donc $σ{ess}(H) = σ{ess—(H0)$ et les points d’accumulation d’une suite de valeurs propres de $H$ appartiennent à $σ{ess}(H0)$.

Comme $V$ est à valeurs complexes, $H$ n’est a priori pas auto-adjoint, donc l’ensemble $σd(H)$ des valeurs propres de $H$ est inclus dans $C \ σ{ess}(H0)$. Dans cet exposé, je vais donner des informations quantitatives sur le comportement des valeurs propres au voisinage de $σ{ess}(H0)$ sous forme d’inégalité de type Lieb-Thirring. En particulier, nous nous intéresserons à l’opérateur de Dirac $Dm = −i \sumk \alphak \partial{xk} +m \beta$ et au Laplacien fractionnaire $H_0 =(−∆)^s$ avec s>0. Pour obtenir nos résultats, nous utilisons principalement un résultat de type Blaschke sur les zéros d’une fonction holomorphe. Si nous avons le temps, je présenterai une autre méthode basée sur un résultat d’analyse fonctionnelle.

Résumé (pdf)