Séminaire d'analyse (archives)

On s'intéresse à la rigidité spectrale de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas où la dynamique classique est du type KAM (intégrable ou proche d'un système intégrable). On montre que les tores invariants KAM (de Kolmogorov-Arnold-Moser) fournissent des invariants iso-spectraux. Les invariants sont donnés par la fonction $\beta$ de Mather.

We study a damped semi-linear wave equation in a bounded domain of R^3 with smooth boundary. It is proved that any H^2-smooth solution can be stabilised locally by a finite-dimensional feedback control supported by a given open subset satisfying a geometric condition. The proof is based on an investigation of the linearised equation, for which we construct a stabilising control satisfying the required properties. We next prove that the same control stabilises locally the non-linear problem. This is a joint work with Thomas Duyckaerts and Armen Shirikyan.

Nous considérons le problème d'inversion des transformations de Radon avec poids sur le plan. Ce problème vient en tomographies différentes et, en particulier, en tomographie d'émission mono-photonique et tomographie d'émission de positons. Nous présentons des résultats anciens et très récents sur ce problème.

Dans cet exposé nous considérons les questions de stabilité et d’instabilité dans le problème inverse de diffusion pour l’équation de Schrödinger et l’équation acoustique en dimension d>=2. En particulier, nous allons présenter des nouvelles estimations de stabilité globale qui dépendent explicitement de la régularité du coefficient et/ou de l’énergie. De plus, en utilisant des idées remontant à Kolmogorov, Tikhomirov et Vitushkin nous montrons l'optimalité des estimations de stabilité de ce type.