Séminaire d'analyse (archives)

Dans cet exposé je présenterai un modèle de type Hartree pour un gaz comprenant une infinité de particules quantiques, et je discuterai du phénomène de dispersion dans ce système infini. Les outils principaux sont 1) une nouvelle inégalité de Strichartz pour des familles de fonctions orthonormées et 2) la conservation de l'énergie (libre) relative. Travaux en collaboration avec Rupert Frank (Caltech), Elliott H. Lieb (Princeton), Julien Sabin (Cergy) et Robert Seiringer (Vienne).

Le système de la magnétohydrodynamique (MHD) idéal incompressible est un modèle classique et fondamental de la physique des plasmas. Sa dérivation formelle à partir de systèmes de type Navier-Stokes-Maxwell incompressibles est bien connue. Dans cet exposé, nous verrons comment une analyse asymptotique de tels systèmes, et une étude précise de la stabilité faible de la force de Lorentz, permet une dérivation rigoureuse et complète de la MHD. Il s’agit d’une collaboration avec Slim Ibrahim et Nader Masmoudi.

We prove the existence and the stability of Cantor families of quasi-periodic, small amplitude solutions of quasi-linear autonomous Hamiltonian and reversible perturbations of KdV and mKdV. The results are based on a Nash-Moser and KAM techniques for the reducibility of the linearized operators along the iteration.

The study of solutions of Hamiltonian PDEs undergoing growth of Sobolev norms as time tends to infinity has drawn considerable attention in recent years. The importance of growth of Sobolev norms is that it implies that the solution transfers energy to higher modes as time evolves.

Consider the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation with periodic boundary conditions and fix s>1. Colliander, Keel, Staffilani, Tao and Takaoka (2010) proved the existence of solutions whose s-Sobolev norm grows in time by any given factor R. Refining their methods in several aspects and using Dynamical Systems techniques, jointly with V. Kaloshin we obtain solutions with s-Sobolev norm growing in polynomial time in R. These improvements allow also to show that the growth of Sobolev norms in polynomial time can also be attained by solutions of the cubic defocusing NLS with a convolution potential.