Séminaire d'analyse (archives)

Cet exposé présente la construction d' un calcul pseudodifférentiel prolongeant la définition du calcul de Weyl à un espace de dimension infinie, un espace de Wiener abstrait. Travaux en collaboration avec Laurent Amour et Jean Nourrigat.

Nous considérons l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant à l'extérieur d'un obstacle compact. Le but est d'analyser des phénomènes de concentration d'énergie près de certaines valeurs (les niveaux de Landau). Cela se manifeste par une accumulation de valeurs propres ou de résonances que nous localisons suivant la condition au bord (Dirichlet, Neumann ou Robin). En particulier nous montrons l'absence de valeurs propres dans certaines zones de l'axe réel. Travail en collaboration avec D. Sambou.

L'existence d'une structure supersymétrique a des conséquences remarquables dans l'analyse spectrales de nombreux opérateurs. En pratique, il arrive que l'existence d'une telle structure ne soit pas évidente. Dans cet exposé, on présentera un critère simple assurant la supersymétrie d'opérateurs différentiels semiclassiques d'ordre deux.

On étudie un problème de diffusion locale à énergie fixée pour l'équation de Schrödinger sur Rn avec un potentiel radial q(r). On suppose que le potentiel q(r) peut s'écrire comme q(r)=q1(r) + q2(r) avec q1(r) à support compact, q2(r) à courte portée et s'étendant holomorphiquement dans le domaine complexe Re z ≥ 0$. Soient q, q' deux potentiels dans la classe ci-dessus. On note δl et δl' les phases de diffusion associées. On montre que pour tout a>0, δl - δl' = o(1/ln-3(ae/2l)2l) lorsque l → +∞ si et seulement si q(r)=q'(r) pour presque tout r ≥ a. La preuve est proche du célèbre résultat de Borg-Marchenko et repose fortement sur la localisation des pôles de Regge qui peuvent être vus comme des résonances lorsque l'on complexifie le moment angulaire.