Séminaire d'analyse (archives)

Les inégalités de Strichartz sont des outils puissants pour étudier des équations du type Schrödinger. On les obtient à partir d'estimations de dispersion L^1-L^{\infty}. L'objectif de cet exposé est de présenter une approche unifiée pour démontrer de telles inégalités dans un cadre général. On considère ainsi un espace métrique muni d'une mesure doublante et un opérateur auto-adjoint engendrant un semi-groupe avec de bonnes propriétés. L'idée est de substituer l'estimation L^1-L^{\infty} usuelle à une estimation H^1-BMO mieux adaptée au problème, et de tirer profit du lien entre la dispersion pour l'équation des ondes et pour l'équation de Schrödinger.

On s'intéresse à la rigidité spectrale de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas où la dynamique classique est du type KAM (intégrable ou proche d'un système intégrable). On montre que les tores invariants KAM (de Kolmogorov-Arnold-Moser) fournissent des invariants iso-spectraux. Les invariants sont donnés par la fonction $\beta$ de Mather.

We study a damped semi-linear wave equation in a bounded domain of R^3 with smooth boundary. It is proved that any H^2-smooth solution can be stabilised locally by a finite-dimensional feedback control supported by a given open subset satisfying a geometric condition. The proof is based on an investigation of the linearised equation, for which we construct a stabilising control satisfying the required properties. We next prove that the same control stabilises locally the non-linear problem. This is a joint work with Thomas Duyckaerts and Armen Shirikyan.