Séminaire d'analyse (archives)

Le point de départ de notre exposé est le théorème de Paley-Zygmund (1930) qui permet d'améliorer en probabilité une injection de Sobolev sur le tore. De notre point de vue, ce théorème a engendré trois branches généalogiques assez distinctes : 1) analyse fonctionnelle abstraite (théorie des séries aléatoires dans les espaces de Banach, 1970-80), 2) constructions de solutions globales en régime surcritique à NLS et NLW (années 2000), 3) inspiré du point précédent, études des "injections de Sobolev probabilistes" dans d'autres contextes que le tore (par exemple sphère, fonctions zonales, oscillateur harmonique), années 2000. On se propose de montrer comment adapter des idées d'analyse fonctionnelle des années 70-80 (qui ont abouti à des résultats optimaux) pour retrouver et compléter de façon optimale des problématiques actuelles concernant les injections de Sobolev probabilistes.

On montre la décroissance de l'énergie locale pour l'équation des ondes dans un guide d'onde avec dissipation constante au bord. On observe que l'onde se comporte en fait en temps grand comme la solution d'une équation de la chaleur. La preuve repose sur des estimées de résolvante. Comme les fonctions propres du problème transverse ne forment pas une base de Riesz, l'analyse spectrale ne se réduit pas de façon évidente à des études "séparées" sur des domaines compacts et euclidiens.

Dans cet exposé, on s'intéressera à un modèle simplifié du problème dynamique de la plasticité parfaite. Dans un premier temps, on présentera le modèle et deux approches possibles pour décrire un tel problème (hyperbolique sous contrainte/variationnelle). On expliquera comment la vision hyperbolique a motivé notre choix de condition de bord. Ensuite, on détaillera comment, grâce à une approche provenant du calcul des variations, il est possible d'obtenir l'existence et l'unicité de solution pour ce problème (en relaxant la condition de bord). Puis, en utilisant des arguments hyperboliques, on démontrera un résultat de régularité en temps courts pour ces solutions. Enfin, on analysera le lien entre les solutions variationnelles et hyperboliques pour ce problème.

En physique des plasmas, le systeme de Zakharov peut être obtenu formellement, dans un cadre haute fréquence, comme limite d'un systeme d'Euler-Maxwell bifluide. J'expliquerai comment des resonances en espace-temps peuvent rendre instables les solutions approchees construites pour cette asymptotique. C'est un travail en commun avec Lu Yong (Prague) et Benjamin Texier (Paris).

Je presenterai deux notions de solutions faible de l'équation de Hamilton-Jacobi, en insistant sur le cas d'une donnée initiale semi-concave.

(See http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~viola-j/Seminaire/OptimalDec15.pdf)

We are interested in proving the optimality of weighted inequalities from Lp to either Lp or weak Lp for a certain operator T and w an Ap weight. In the first part of the seminar, we show that whenever the former bound is true, then necessarily the exponent on the Ap constant of the weight satisfies a lower bound which is a function of the asymptotic behaviour of the unweighted Lp operator norm as p goes to 1 and +∞. By combining these results with known weighted inequalities, we derive the sharpness of such exponent, without building any specific example, for maximal, Calderón–Zygmund and fractional integral operators. The main underlying idea of this result comes from extrapolation theory and the Rubio de Francia algorithm. (joint with Carlos Pérez and Ezequiel Rela)

In the second part, we focus on the case where T is a multiparameter operator, in particular, the strong maximal function, and w is a strong-Ap weight. Multiparameter optimal weighted inequalities have not been developed, as there exists a serious obstruction in carrying over the well-known achievements of classical weighted theory to the multiparameter setting. As we will see, this is somehow a manifestation of the failure of the Besicovitch covering argument. We will try to present the obstacles we need to deal with and the partial results we have been able to prove.

We study the dynamics of a soliton in the generalized NLS with a small external potential εV of Schwartz class. We prove that there exists an effective mechanical system describing the dynamics of the soliton and that, for any positive integer r, the energy of such a mechanical system is almost conserved up to times of order ε-r. In the rotational invariant case we deduce that the true orbit of the soliton remains close to the mechanical one up to times of order ε-r. This is a joint work with Dario Bambusi.

Dans cet exposé on va considérer l'équation des ondes cubique sur le cercle. Proche de l'origine on montrera l'existence de solutions quasi-périodiques de faible amplitude proche de la solution de l'équation linéaire et l'existence de tore stable. Pour la preuve on fera appel à un résultat KAM en dimension infinie et à une forme normale de Birkhoff.