Séminaire d'analyse (archives)

Les opérateurs (h-)pseudodifférentiels et de Berezin-Toeplitz apparaissent comme observables quantiques lorsque l'espace des phases est respectivement un fibré cotangent ou une variété symplectique compacte. Une question naturelle est de comprendre quelles informations le spectre de tels opérateurs (dans la limite semi-classique) livre sur le système classique sous-jacent. Je préciserai cette question et j'évoquerai quelques résultats récents, en particulier un travail en collaboration avec Alvaro Pelayo et San Vu Ngoc concernant les systèmes semi-toriques en dimension 4.

On considère l’équation de Schrödinger discrète unidimensionnelle (linéaire ou non linéaire):
i∂t qn = −(qn+1 + qn−1) + V (θ + nω)qn (+|qn|2qn ), n ∈ Z,
avec ω un vecteur rationellement indépendent et V une fonction analytique réelle sur le tore. En décrivant les croissances différentes de la norme de diffusion
||q(t)||s = (Σn n2s|q n (t)|2)1/2 , s ≥ 1
dans les cas diff ́erents, on parle de la localisation et du transport dans ce système hamiltonien de dimension infinie selon certaines propriétés spectrales de l’opérateur de Schrödinger. Ces travaux sont concernés avec les applications des théories de KAM pour la diagonalisation par blocs de la matrice de dimension infinie, et pour la presque réductibilité du cocycle de Schrödinger.

Le point de départ de notre exposé est le théorème de Paley-Zygmund (1930) qui permet d'améliorer en probabilité une injection de Sobolev sur le tore. De notre point de vue, ce théorème a engendré trois branches généalogiques assez distinctes : 1) analyse fonctionnelle abstraite (théorie des séries aléatoires dans les espaces de Banach, 1970-80), 2) constructions de solutions globales en régime surcritique à NLS et NLW (années 2000), 3) inspiré du point précédent, études des "injections de Sobolev probabilistes" dans d'autres contextes que le tore (par exemple sphère, fonctions zonales, oscillateur harmonique), années 2000. On se propose de montrer comment adapter des idées d'analyse fonctionnelle des années 70-80 (qui ont abouti à des résultats optimaux) pour retrouver et compléter de façon optimale des problématiques actuelles concernant les injections de Sobolev probabilistes.

On montre la décroissance de l'énergie locale pour l'équation des ondes dans un guide d'onde avec dissipation constante au bord. On observe que l'onde se comporte en fait en temps grand comme la solution d'une équation de la chaleur. La preuve repose sur des estimées de résolvante. Comme les fonctions propres du problème transverse ne forment pas une base de Riesz, l'analyse spectrale ne se réduit pas de façon évidente à des études "séparées" sur des domaines compacts et euclidiens.

Dans cet exposé, on s'intéressera à un modèle simplifié du problème dynamique de la plasticité parfaite. Dans un premier temps, on présentera le modèle et deux approches possibles pour décrire un tel problème (hyperbolique sous contrainte/variationnelle). On expliquera comment la vision hyperbolique a motivé notre choix de condition de bord. Ensuite, on détaillera comment, grâce à une approche provenant du calcul des variations, il est possible d'obtenir l'existence et l'unicité de solution pour ce problème (en relaxant la condition de bord). Puis, en utilisant des arguments hyperboliques, on démontrera un résultat de régularité en temps courts pour ces solutions. Enfin, on analysera le lien entre les solutions variationnelles et hyperboliques pour ce problème.

En physique des plasmas, le systeme de Zakharov peut être obtenu formellement, dans un cadre haute fréquence, comme limite d'un systeme d'Euler-Maxwell bifluide. J'expliquerai comment des resonances en espace-temps peuvent rendre instables les solutions approchees construites pour cette asymptotique. C'est un travail en commun avec Lu Yong (Prague) et Benjamin Texier (Paris).

Je presenterai deux notions de solutions faible de l'équation de Hamilton-Jacobi, en insistant sur le cas d'une donnée initiale semi-concave.

(See http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~viola-j/Seminaire/OptimalDec15.pdf)

We are interested in proving the optimality of weighted inequalities from Lp to either Lp or weak Lp for a certain operator T and w an Ap weight. In the first part of the seminar, we show that whenever the former bound is true, then necessarily the exponent on the Ap constant of the weight satisfies a lower bound which is a function of the asymptotic behaviour of the unweighted Lp operator norm as p goes to 1 and +∞. By combining these results with known weighted inequalities, we derive the sharpness of such exponent, without building any specific example, for maximal, Calderón–Zygmund and fractional integral operators. The main underlying idea of this result comes from extrapolation theory and the Rubio de Francia algorithm. (joint with Carlos Pérez and Ezequiel Rela)

In the second part, we focus on the case where T is a multiparameter operator, in particular, the strong maximal function, and w is a strong-Ap weight. Multiparameter optimal weighted inequalities have not been developed, as there exists a serious obstruction in carrying over the well-known achievements of classical weighted theory to the multiparameter setting. As we will see, this is somehow a manifestation of the failure of the Besicovitch covering argument. We will try to present the obstacles we need to deal with and the partial results we have been able to prove.