Séminaire d'analyse (archives)

In this talk we aim to study large-time asymptotics of solutions of the KFP equation with a short-range potential in dimension one. First we summarise several known results about the free operator and then demonstrate the influence of the potential. Representation formula of the semigroup in terms of the resolvent is employed to obtain the asymptotics of solutions. In these calculations we have to find the expansion of the resolvent near the threshold of the essential spectrum.

Soit (M,g) une variété Riemannienne lisse compacte, connexe à bord de dimension supérieure ou égale à 3. Nous montrons qu'il existe une infinité de métriques appartenant à la même classe conforme que g et ayant la même application Dirichlet-Neumann, lorsque les données sont mesurées sur des ouverts disjoints du bord. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Thierry Daudé (Université de Cergy-Pontoise) et Niky Kamran (McGill University).

Nous améliorons le résultat obtenu par Pierre-Yves Bienaimé dans sa thèse concernant l'existence locale et l’effet régularisant pour des équations de Schrôdinger généralisées. L’amélioration porte aussi bien sur l’indice de régularité Sobolev en espace que sur l’indice (exposant) mesurant l’effet régularisant.

On s’intéresse ici au problème de Calderón anisotrope dans une classe conforme en dimension supérieure ou égale à 3. La question est de savoir si l’on peut retrouver dans une variété riemannienne lisse à bord un facteur conforme à partir des données de Cauchy des fonctions harmoniques. En dimension 2, la question de l’unicité est résolue, ainsi qu'en dimension supérieure ou égale à 3 pour des métriques analytiques. Dans le cas lisse, quelques progrès récents ont été faits sous des hypothèses de structure de la métrique — métrique produit avec un facteur euclidien — et géométriques sur la partie transverse — simplicité ou injectivité de la transformée à rayons géodésiques. La méthode est basée sur la construction de couples de quasimodes se concentrant dans la partie transverses sur la même géodésique. Nous souhaitons pousser la méthode pour nous affranchir des hypothèses géométriques transverses, en considérant des couples de quasimodes se concentrant sur deux géodésiques distinctes. Pour l’instant, nous pouvons obtenir des résultats de régularisation dans le problème linéarisé (autour d’un facteur conforme constant). Ce travail est basé sur une collaboration avec Y. Kurylev, M. Lassas, T. Liimatainen et M. Salo.

On (re)expliquera rapidement le calcul paracontrolé d'ordre 1 (introduit par Gubinelli, Imkeller et Perkowski) et comment il permet de résoudre le modèle parabolique d'Anderson en dimension 2, prototype des EDP singulières. En observant alors les obstacles pour la dimension 3, on expliquera le calcul d'ordre supérieur. En particulier, celui-ci fait intervenir l'introduction de paraproduits espace-temps, que nous détaillerons. C'est un travail en collaboration avec Ismaël Bailleul et Dorothee Frey.

Dans ce récent travail en collaboration avec Jean-Yves Chemin et Raphael Danchin, nous proposons une nouvelle approche de la transformée de Fourier sur le groupe de Heisenberg. Cette approche permet de voir la transformée de Fourier des fonctions intégrables comme une fonction uniformément continue sur un espace muni d'une distance appropriée (tandis qu'avec le point de vue classique, la transformée de Fourier est une famille d'opérateurs bornés). La complétion de cet espace (qui va jouer le rôle de l'espace des fréquences) permet de capturer le comportement asymptotique de la transformée de Fourier lorsque la fréquence verticale tend vers 0.

On montre que l'équation des ondes de gravité-capillarité en dimension un d'espace admet, pour des données initiales assez régulières, périodiques, paires, de "masse" nulle et de taille $\epsilon$ petite, une unique solution presque globale, i.e. définie sur un intervalle de temps de longueur $c_N\epsilon^{-N}$, pour $N$ un entier arbitraire. Le résultat est obtenu sous l'hypothèse que le couple de deux paramètres dont dépend l'équation (la gravité et la tension de surface) soit pris hors d'un ensemble exceptionnel de mesure nulle.

La question d'obtenir des équations de la mécanique des fluides à partir de systèmes déterministes de particules en interaction satisfaisant aux équations de Newton, dans la limite où le nombre de particules tend vers l'infini, est posée par Hilbert dans son sixième problème. Dans cet exposé nous présenterons quelques avancées dans ce programme. Il s'agit de travaux en collaboration avec Thierry Bodineau et Laure Saint Raymond.

Certaines inégalités de Gagliardo-Nirenberg sont équivalentes à des inégalités d’entropie - production d’entropie qui peuvent être établies par la méthode de Bakry-Emery, dite aussi méthode du carré du champ, appliquée à des équations de diffusion rapide. En présence de poids, des flots non-linéaires adaptés peuvent aussi être utilisés comme outil pour l’étude des questions de symétrie et de brisure de symétrie dans les inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Les asymptotiques en temps grand déterminent quel régime de symétrie doit être considéré. Ce séminaire soulignera le rôle des inégalités linéarisées dans l’étude des équations d’évolution non-linéaires et les conséquences pour les inégalités d’interpolation et la détermination des constantes optimales correspondantes.

A travers un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées, nous étudierons différents types de comportements non linéaires que l'on peut obtenir en EDP. A partir de l'étude de deux cas modèles, sur le cercle et sur la droite réelle, nous verrons en quoi le choix d'un espace produit apparaît naturellement, et comment ce choix permet de construire des solutions mettant en évidence un échange d'énergie en temps infini.