We first show a dimensionless weighted $L^2$ estimate for the Bakry Riesz vector on Riemannian manifolds with bounded geometry by exhibiting a concrete Bellman function. Then, using a Gundy-Varopoulos type stochastic representation of the Bakry Riesz vector, we use a sparse domination with continuous parameter which offers a new dimensionless, sharp $L^p$ estimate in the weighted setting.
The Efimov effect is one of the interesting spectral properties of three-body systems. It asserts that if all the two-body subsystems do not have negative eigenvalues and have a resonance at zero energy, then the total system has an infinite number of negative eigenvalues accumulating at the origin. The effect holds only in dimension three. In recent physics papers, it has been reported to remain true even in dimension two or one under certain conditions. I talk about these results from a mathematical point of view.
L'exposé commencera par rappeler des faits élémentaires sur la stabilité des équilibres des équations différentielles hamiltoniennes.
Ensuite, motivé par des applications aux fluides capillaires ou aux équations de Schrödinger non linéaires, je discuterai des propriétés de stabilité --- co-périodique ou modulationelle --- des ondes périodiques des systèmes de type Euler--Korteweg ou des équations de type Korteweg--de Vries. L'accent sera mis d'une part sur les liens avec l'intégrale d'action associée aux équations de profil et d'autre part sur les limites harmonique/faible amplitude et soliton/grande période.
La plupart des résultats sont issus d'une série de travaux principalement réalisés avec Sylvie Benzoni-Gavage (Lyon 1/IHP).
Via deux exemples, j'essaierai de montrer comment la théorie des déformations isomonodromiques peut s'appliquer à des domaines de recherche assez variés. Le premier exemple concerne l'étude de certaines distributions de probabilité liées aux matrices aléatoires (distribution de Tracy-Widom et ses généralisations). Le deuxième la géométrie énumérative et, notamment, les nombres d'intersection sur l'espace de Deligne-Mumford des courbes stables (conjecture de Witten).
Département de Mathématiques, Faculté des sciences d'Orsay
Date et heure de l'exposé
Lieu de l'exposé
Salle des séminaires
Résumé de l'exposé
On s’intéresse dans cet exposé au processus de Langevin sur-amorti à basse température $ h\to 0 $ associé à un potentiel $ f $ de Morse dans un domaine borné $ \Omega $. Le générateur infinitésimal associé est alors donné par l’opérateur différentiel semi-classique $ L = \nabla f\cdot \nabla - \frac h 2 \Delta $ qui est, à conjugaison près, un Laplacien de Witten.
Lorsque le domaine $ \Omega $ est un puits confinant du potentiel $ f $ avec un seul minimum local, il est connu que les trajectoires de ce processus, partant d’un point $ x \in \Omega $, sortent de $ \Omega $ (i.e. atteignent $ \partial \Omega $) dans un voisinage des minima globaux de $ f |_{\partial \Omega} $ avec une probabilité tendant vers $ 1 $ lorsque $ h\to 0 $.
On cherchera ici à obtenir et à généraliser ces résultats à des domaines $ \Omega $ plus généraux lorsque le processus suit initialement une distribution naturelle dans $ \Omega $ appelée distribution quasi-stationnaire. Cela revient à étudier précisément certaines propriétés liées au bas du spectre de l’opérateur $ L $. On verra aussi que les résultats obtenus pour la distribution quasi-stationnaire peuvent s’étendre à certaines conditions initiales déterministes.
(Travail en collaboration avec Giacomo Di Gesù, Tony Lelièvre et Boris Nectoux)
Soit U un ouvert borné du plan. On étudie les valeurs propres du Laplacien dans U avec les conditions de Robin Dn u=A u où Dn est la dérivée normale sortante et A>0 est un grand paramètre. On s'intéressera au régime asymptotique quand le paramètre A devient grand. Plusieurs auteurs ont étudié ce problème quand U est à bord lisse: dans ce cas le comportement des valeurs propres est géré par l'opérateur effectif T-AK agissant sur le bord de U, où T est le Laplacien 1D et K est la courbure. Notre but est de comprendre l'asymptotique des valeurs propres quand U est un domaine à coins (polygone curviligne). On introduit la notion d'un coin non-résonant (les coins dont l'ouverture est supérieure à \pi/2 possèdent cette propriété) et on l'utilise pour construire l'opérateur effectif: si tous les coins sont non-résonants, cet opérateur à la même expression que dans le cas lisse mais avec une condition de Dirichlet à chaque sommet. On discutera également certains liens entre notre problème, la théorie spectrale des variétés à bouts cylindriques et les valeurs propres des Laplaciens dans domaines convergeant vers un graphe. Ce travail est une collaboration avec Magda Khalile et Thomas Ourmières-Bonafos (Orsay).
