Séminaire d'analyse (archives)

Dans cet exposé, nous expliquons un résultat que nous avons obtenu récemment et qui concerne les équations d’ondes avec un Laplacien sous-Riemannien (i.e. sous-elliptique). Etant donnée une variété (M) , un sous-ensemble mesurable (\omega \subset M), un temps (T0) et un Laplacien sous-elliptique (\Delta) sur (M) , on dit que l’équation des ondes avec Laplacien (\Delta) est observable sur (\omega) en temps (T0) si toute solution (u) de (\partial{tt}^2 u − \Delta u = 0) avec une énergie initiale fixée satisfait (\int0^{T0} \intω |u|^2\,dx \,dt \geq C) pour une certaine constante (C > 0) indépendante de (u).

Il est connu depuis les travaux de Bardos-Lebeau-Rauch que l’observabilité de l’équation des ondes elliptique, i.e. avec un Laplacien Riemannien, en temps (T0) est quasiment équivalente à la Condition de Contrôle Géométrique (GCC), qui stipule que tout rayon de l’optique géométrique rentre dans (\omega) avant l’instant (T0). On montre que dans le cas sous-elliptique, dès lors que (M\backslash\omega) a un intérieur non-vide et (\Delta) est “sous-elliptique mais pas elliptique”, GCC n’est jamais vérifiée, ce qui implique que les équations des ondes sous-elliptiques ne sont jamais observables. La preuve consiste à construire des suites de solutions de l’équation des ondes dont l’énergie se concentre sur des géodésiques (pour la distance sur (M) associée à (\Delta)) qui passent un temps long dans (M\backslash\omega)

Considérons le processus de  Langevin suramorti $(X_t)_{t\ge 0}$ solution de l'équation différentielle stochastique  sur $\mathbb R^d$:
$$dX_t=-\nabla f(X_t)dt+\sqrt h dB_t.$$
C'est un processus  prototypique utilisé   pour modéliser l'évolution de systèmes statistiques.  La fonction $f:\mathbb R^d\to \mathbb R$ est le potentiel du système et $h>0$ sa température. Le processus de Langevin suramorti est métastable: il reste bloqué (piégé) dans des voisinages des minima locaux de $f$ sur de longues périodes de temps avant de s'en échapper. C'est une des raisons majeures qui rend inaccessibles l'observation de transitions entre les états macroscopiques du système ainsi que le calcul de quantités thermodynamiques par intégration directe des trajectoires de $(X_t)_{t\ge 0}$. De nombreux algorithmes ont été introduits ces dernières années  pour accélérer l'échantillonnage de dynamiques métastables (e.g.  les méthodes de Monte-Carlo cinétique et les \textit{accelerated dynamics algorithms} introduits par A.F. Voter et al. à Los Alamos). Ces algorithmes  reposent sur des estimées  précises de l'évènement de sortie d'un état macroscopique $\Omega\subset \mathbb R^d$ à basse température ($h\ll1$) et notamment sur le calcul asymptotique des taux de transition entre les états macroscopiques à l'aide de  la célèbre loi d'Eyring-Kramers (1935).
Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents marquant des avancées significatives    sur l'étude précise de l'évènement de sortie d'un état macroscopique $\Omega$ pour le processus de Langevin suramorti quand $h\ll1$, ainsi que les nombreuses questions qui restent ouvertes.
Mots clés: physique statistique/moléculaire, loi d’Eyring-Kramers, métastabilité, régime d’une petite température, méthodes de Monte-Carlo cinétique.

Dans cet exposé, on s'intéresse à l'observabilité de l'équation de Schrodinger hypoelliptique. En particulier, on considère l'équation Schrodinger-Grushin, un modèle le plus simple dont la dégénérescence est de degré 1 (un seul crochet de champs engendre le fibré tangent). On obtient l'observabilité par la bande horizontale, avec le temps optimal, en fonction de la taille de la bande. Par conséquence, on démontre la contrôlabilité exacte pour cette équation. L'optimalité est réalisée par construire une suite des fonctions propres de l'oscillateur harmonique semiclassique, qui se concentrent près de l'origine. La preuve utilise plusieur outils d'analyse semiclassique de niveau assez élémentaire. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Nicolas Burq.

La quantification de Berezin-Toeplitz permet d'associer, à des fonctions sur des variétés symplectiques, des opérateurs auto-adjoints sur des espaces de Hilbert, avec un paramètre semiclassique. Quand la variété est R^{2n}, on retrouve les opérateurs pseudodifférentiels (par la transformée de Bargmann ou de FBI), et les opérateurs de Toeplitz admettent comme autre classe d'exemples importants les opérateurs de spins (quand la variété est S^2) qui décrivent l'interaction d'un matériau avec un champ magnétique.

Dans cet exposé, je présenterai les opérateurs de Toeplitz et leur ingrédient géométrique principal, le noyau de Szegö, avec comme motivation principale un exemple concret de système de spins dont le comportement est exotique. Je décrirai ensuite les techniques semiclassiques qu'on développe et qu'on utilise pour étudier la localisation des fonctions propres en quantification de Toeplitz.

In this talk we will discuss criteria for the $L^2 \times L^2 \to L^1$ boundedness of bilinear Fourier multiplier operators with symbols with bounded partial derivatives of all (or sufficiently many) orders. Results of this type have applications for proving boundedness of various operators in harmonic analysis, including rough bilinear singular integrals and bilinear spherical maximal functions. Our main focus will be on the question of optimality of these bilinear multiplier theorems. This is a joint work with Loukas Grafakos and Danqing He.

Je present un travail récent en collaboration avec M. P. Sundqvist autour du Laplacien avec un champ magnétique et une condition au bord de Robin. Dans le cas du disque, on a déterminé le development limité de la première valeur propre dans le regime d'un couplage fort (paramètre du Robin grand et négatif). Notre formule montre le terme qui depend du champ magnétique, et ceci est une fonction périodique par rapport l'intensité du champ magnétique. En conséquence, on obtient que la première valeur propre n'est pas une fonction croissante par rapport l'intensité du champ magnétique.

Wave packets describe the quantum vibrations of a molecule. They are highly oscillatory, highly localized and move in high dimensional configuration spaces. The governing equation is the time-dependent Schr\"odinger equation in the semiclassical regime. The talk addresses three meshless numerical methods for catching wave packets: single Gaussian beams, superpositions of them, and the so-called linearized initial value representation.

Le spectre de Steklov est l'ensemble des valeurs propres de l'opérateur Dirichlet-to-Neumann, défini sur le bord d'une variété riemannienne lisse compacte à bord. Quel type d'informations géométriques peut-on retrouver à partir de ce spectre ? Dans cet exposé, nous présenterons la résolution de ce problème inverse dans le cadre d'une variété riemannienne ayant la topologie d'un cylindre, munie d'une métrique de type produit tordu. Plus précisément, nous démontrerons que le spectre de Steklov caractérise le facteur conforme de la métrique à une invariance de jauge naturelle près.

Soit (M,g) une variété riemannienne compacte. Sur M, le laplacien a un spectre discret (\lambdak)kauquel est associée une famille orthonormée de fonctions propres (\psik)k. La relation entre le comportement asymptotique de psik lorsque k tend vers l'infini et la dynamique du flot géodésique sur M présentent des liens étudiés depuis bientôt 70 ans. Ces liens permettent, sous certaines hypothèses dynamiques, d'obtenir de l'information précise sur le comportement des \psik. Je présenterai un programme visant à étudier les fonctions \psik sur une variété à courbure négative, en les comparant à des fonctions aléatoires dont les statistiques ponctuelles sont gaussiennes. Je parlerai de résultats visant à rendre cette comparaison rigoureuse, ainsi que de résultats sur ces fonctions aléatoires et leurs applications possibles à l'étude des \psik.