Séminaire d'analyse (archives)

On étudie le comportement en temps grand des solutions de l'équation de Schrödinger avec potentiels à valeurs complexes. Dans un premier temps, on s'intéresse aux potentiels à décroissance rapide. On établit les développements de la résolvante au seuil et près des résonances positives. On obtient, sous différentes conditions, les développements en temps grand des solutions en supposant l'existence de résonances positives et d'une résonance et / ou une valeur propre au seuil zéro. Dans un second temps, on s'intéresse aux potentiels à décroissance lente. On établit des estimations de Gevrey de la résolvante aussi que les développements en temps grand des semi-groupes de Schrödinger et de la chaleur avec des estimations sous-exponentielles en temps sur le reste.

Je présenterai comment adapter la technique de multiplicateurs, développée par Leray et Garding pour les opérateurs d'évolution strictement hyperboliques, au cadre des schémas aux différences finies pour des équations d'évolution. Le but est d'obtenir des estimations de stabilité en passant le moins possible par l'analyse de Fourier dans les variables spatiales. Je tacherai notamment d'expliquer la méthode sur les schémas à un ou deux pas de temps qui sont les seuls à l'heure actuelle où la technique semble pouvoir s'étendre aux schémas de type volumes finis en espace.

Nous montrons qu'en dimension supérieure ou égale à 3, il n'y a pas unicité pour le problème de Calderón local pour des métriques Riemanniennes à coefficients Hölder continus. Nous construisons des contre-exemples à l'unicité dans le cas de variétés toroïdales (M,g). Les coefficients de ces métriques sont lisses à l'intérieur de ces variétés et sont seulement Hölder continus sur le bord où sont effectuées les mesures. Plus précisément, nous montrons qu'il existe dans la classe conforme de g une infinité de métriques (\tilde{g} = c^4 g) telles que les applications Dirichlet-Neumann locales sur un bord coïncident. Les facteurs conformes correspondants sont harmoniques par rapport à la métrique g, mais ne vérifient pas le principe de prolongement unique.

We consider a class of quasi-linear, Hamiltonian Schrödinger equations on the d dimensional torus. We discuss the problem of existence and unicity of classical solutions of the Cauchy problem associated to the equation with initial conditions in the Sobolev space H^s, with s large. We also present results about the lifespan and stability of small solutions. The proofs of such results involves techniques of para-differential calculus combined with normal form theory.