Séminaire d'analyse (archives)

Le but de cet exposé est de présenter un résultat de contrôlabilité interne pour des systèmes d'équations d'ondes couplées, posées sur un domaine borné régulier de R^d, avec un contrôle interne agissant sur un sous-ouvert. Plus précisément, on couple un système d'équation d'ondes se propageant à une certaine vitesse avec un autre système d'équations d'ondes, se propageant à une autre vitesse. Le couplage est interne et constant, sous forme cascade, et le contrôle n'intervient que sur certaines des équations.

Dans un premier temps, je donnerai quelques notions de contrôlabilité et des reformulations duales, puis je présenterai le résultat de Bardos, Lebeau et Rauch dans le cas d'une équation d'onde scalaire.

Dans un second temps, je présenterai le résultat que nous avons obtenu dans le cas système. La principale difficulté est d'identifier un espace d'état raisonnable pour le système. Cet espace d'état fait intervenir différents niveaux d'énergie, mais fait aussi des conditions de compatibilité plus surprenantes. La deuxième étape est de démontrer une CNS de contrôlabilité de type ​condition de Kalman spectrale'' dans cet espace, sous condition de contrôle géométrique, à l'aide d'une stratégie basée sur l'utilisation de mesures de défauts microlocales. Cette stratégie nécessite notamment une reformulation du système pour travailler à des niveaux d'énergie égaux pour chacune des composantes du système. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jingrui Niu.

Dans cette exposé nous nous intéresserons au problème de Calderón qui consiste à détecter la conductivité d'un milieu à partir du flux de courant mesuré sur le bord du milieu provenant de l'application de différents potentiels électriques sur le bord du milieu. Ce problème inverse aux applications multiples (imagerie médicale, géophysique...) se formule comme la détermination d'un paramètre apparaissant dans une équation elliptique. Dans cet exposé nous considérerons ce problème pour des équations elliptiques quasilinéaires où le paramètre à déterminer sera associé à une expression non-linéaire décrivant la conductivité du milieu. Ces travaux proviennent d'une collaboration avec Cătălin I. Cârstea, Ali Feizmohammadi, Katya Krupchyk et Gunther Uhlmann.

Dans cet exposé je présenterai des résultats concernant le comportement en temps long des solutions d'équations cinétiques linéaires dans tout l'espace, où l'opérateur de collision satisfait les lois de conservation physiques (masse, quantité de mouvement et énergie) et les particules sont confinées via un potentiel extérieur. Il s'agit d'un travail en collaboration avec J. Dolbeault, F. Hérau, S. Mischler, C. Mouhot et C. Schmeiser.

We consider a semiclassical linear Boltzmann model with a non local collision operator. We provide sharp spectral asymptotics for the small spectrum in the low temperature regime from which we deduce the rate of return to equilibrium as well as a metastability result. The main ingredients are resolvent estimates obtained via hypocoercive techniques and the construction of sharp Gaussian quasimodes through an adaptation of the WKB method.

Un phénomène surprenant existe autour de l'ensemble de Cantor triadique: la loi de Cantor (la "mesure uniforme sur le Cantor") a pour fonction de répartition le célèbre escalier du diable, qui s'avère être $\frac{\log 2}{\log 3}$-Hölderienne. C'est la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Cantor. De plus, la transformée de Fourier de cette mesure s'avère décroitre comme $|\xi|^{-\frac{\log 2}{\log 3}}$ "en moyenne". Ce n'est pas une coïncidence, et est un indice vers un lien plus profond entre la géométrie des fractales et l'analyse de Fourier. Dans cette présentation nous détaillerons une partie de ce lien à travers la notion de dimension de Fourier. Nous discuterons de l'état de l'art et de quelques résultats récents: la dimension de Fourier d'un ensemble de Julia hyperbolique est positive.

Je commencerai par présenter les équations des lacs qui peuvent être considérées comme une généralisation des équations d'Euler axisymétriques 3D sans swirl. Ce modèle 2D diffère des équations d'Euler 2D en raison d'une contrainte anélastique dans le problème div-rot. J'expliquerai comment cette nouvelle contrainte implique un comportement très différent des tourbillons concentrés : le tourbillon ponctuel se déplace sous sa propre influence selon une loi de type courbure binormale. Ce travail est en collaboration avec Lars Eric Hientzsch et Evelyne Miot.

I will present a joint work with Andrew Lawrie (MIT) on the wave maps equation from the (1+2)-dimensional space to the 2-dimensional sphere, in the case of initial data having the equivariant symmetry. We prove that every solution of finite energy converges in large time to a superposition of harmonic maps (solitons) and radiation. It was proved by Côte, and Jia and Kenig, that such a decomposition is true for a sequence of times. Combining the study of the dynamics of multi-solitons by the modulation technique with the concentration-compactness method, we prove a "non-return lemma", which allows to improve the convergence for a sequence of times to convergence in continuous time.

In the limit of vanishing but moderate external magnetic field, we derived a few years ago together with S. Conti, F. Otto and S. Serfaty a branched transport problem f rom the full Ginzburg-Landau model. In this regime, the irrigated measure is the Lebesgue measure and, at least in a simplified 2d setting, it is possible to prove that the minimizer is a self-similar branching tree. In the regime of even smaller magnetic fields, a similar limit problem is expected but this time the irrigation of the Lebesgue measure is not imposed as a hard constraint but rather as a penalization. While an explicit computation of the minimizers seems here out of reach, I will present some ongoing project with G. De Philippis and B. Ruffini relating local energy bounds to dimensional estimates for the irrigated measure.

Suite aux travaux pionniers de Bourgain en 1996, puis de Burq et Tzvetkov en 2008, une approche statistique des équations dispersives non linéaires s'est considérablement développée dans une variété de contextes.

Nous nous intéressons ici aux équations de Schrödinger avec une non-linéarité cubique (NLS) dans $\mathbb{R}^d$. Après avoir rappelé la théorie de Cauchy probabiliste développée par Bényi, Oh et Pocovnicu en 2015 dans des régimes sur-critiques, nous précisons l'instabilité par « inflation de normes » qui se produit dans de tels régimes.

La deuxième partie est consacrée à la dynamique en temps long pour les solutions associées à ces données initiales aléatoires. Nous démontrons un résultat de scattering qui s'appuie sur une version probabiliste de la I-méthode et qui permet en outre de résoudre statistiquement la conjecture de scattering pour NLS en dimension 3.

Enfin, nous présentons des développements récents dans des régimes quasi-linéaires, qui ont été initiés par Bringmann en 2019 et que nous exploitons pour exhiber des solutions fortes à certaines équations faiblement dispersives. Ce dernier résultat est en collaboration avec Louise Gassot et Slim Ibrahim.

Dans cet exposé on va construire des mesures de Gibbs et des mesures Gaussienne quasi-invariantes pour l'équation de Benjamin-Bona-Mahony avec dispersion fractionnaire (sur le tore). On discutera aussi du problème de construire des mesures Gaussienne quasi-invariantes pour des autres modèles dispersifs. En collaboration avec Giuseppe Genovese et Nikolay Tzvetkov.