Séminaire d'analyse (archives)

I will present a joint work with Andrew Lawrie (MIT) on the wave maps equation from the (1+2)-dimensional space to the 2-dimensional sphere, in the case of initial data having the equivariant symmetry. We prove that every solution of finite energy converges in large time to a superposition of harmonic maps (solitons) and radiation. It was proved by Côte, and Jia and Kenig, that such a decomposition is true for a sequence of times. Combining the study of the dynamics of multi-solitons by the modulation technique with the concentration-compactness method, we prove a "non-return lemma", which allows to improve the convergence for a sequence of times to convergence in continuous time.

In the limit of vanishing but moderate external magnetic field, we derived a few years ago together with S. Conti, F. Otto and S. Serfaty a branched transport problem f rom the full Ginzburg-Landau model. In this regime, the irrigated measure is the Lebesgue measure and, at least in a simplified 2d setting, it is possible to prove that the minimizer is a self-similar branching tree. In the regime of even smaller magnetic fields, a similar limit problem is expected but this time the irrigation of the Lebesgue measure is not imposed as a hard constraint but rather as a penalization. While an explicit computation of the minimizers seems here out of reach, I will present some ongoing project with G. De Philippis and B. Ruffini relating local energy bounds to dimensional estimates for the irrigated measure.

Suite aux travaux pionniers de Bourgain en 1996, puis de Burq et Tzvetkov en 2008, une approche statistique des équations dispersives non linéaires s'est considérablement développée dans une variété de contextes.

Nous nous intéressons ici aux équations de Schrödinger avec une non-linéarité cubique (NLS) dans $\mathbb{R}^d$. Après avoir rappelé la théorie de Cauchy probabiliste développée par Bényi, Oh et Pocovnicu en 2015 dans des régimes sur-critiques, nous précisons l'instabilité par « inflation de normes » qui se produit dans de tels régimes.

La deuxième partie est consacrée à la dynamique en temps long pour les solutions associées à ces données initiales aléatoires. Nous démontrons un résultat de scattering qui s'appuie sur une version probabiliste de la I-méthode et qui permet en outre de résoudre statistiquement la conjecture de scattering pour NLS en dimension 3.

Enfin, nous présentons des développements récents dans des régimes quasi-linéaires, qui ont été initiés par Bringmann en 2019 et que nous exploitons pour exhiber des solutions fortes à certaines équations faiblement dispersives. Ce dernier résultat est en collaboration avec Louise Gassot et Slim Ibrahim.

Dans cet exposé on va construire des mesures de Gibbs et des mesures Gaussienne quasi-invariantes pour l'équation de Benjamin-Bona-Mahony avec dispersion fractionnaire (sur le tore). On discutera aussi du problème de construire des mesures Gaussienne quasi-invariantes pour des autres modèles dispersifs. En collaboration avec Giuseppe Genovese et Nikolay Tzvetkov.

We consider the long-time behavior of a fast, charged particle interacting with an initially spatially homogeneous background. We model the background by the screened Vlasov-Poisson equations, whereas the interaction potential of the point charge is assumed to be smooth. We prove the validity of the stopping power theory in physics which predicts a decrease of the velocity $V(t)$ of the point charge given by $\dot{V} \sim -|V|^{-3} V$. Our result holds for all initial velocities larger than a threshold value that is larger than the velocity of all background particles and remains valid until (i) the particle slows down to the threshold velocity, or (ii) the time is exponentially long compared to the velocity of the point charge.

The long-time behavior of this coupled system is related to the question of Landau damping that has remained open in this setting so far. Contrary to other results in nonlinear Landau damping, the long-time behavior of the system is driven by the non-trivial electric field of the plasma, and the damping only occurs in regions that the point charge has already passed.

Joint work with Raphael Winter (University of Vienna)

Je vais expliquer pourquoi les solutions du système de Dirac-Klein-Gordon convergent dans une limite de fort couplage vers celles de l'équation de Dirac non-linéaire. Je vais aussi traiter l'analogue 'many-body' de cette question. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jonas Lampart (Dijon), Loïc Le Treust (Marseille), et Simona Rota Nodari (Nice).

On introduira et on discutera une classe d'équations de Vlasov singulières (présentant une perte de dérivée au niveau du terme de force), dont on motivera l'étude par plusieurs exemples issus de la physique. On étudiera en particulier l'équation de Vlasov-Benney pour des données initiales vérifiant une condition de stabilité optimale (travail avec Kleber Carrapatoso et Frédéric Rousset).

Dans ce projet, on considère l’opérateur Schrödinger magnétique semi-classique en dimensions 2, dans le cas où le champ magnétique s’annule le long d’une courbe fermée lisse. En supposant que cette courbe possède un axe de symétrie, on prouve que l’effet tunnel se produit. Le résultat principal est de trouver une approximation explicite de la différence entre les deux premières valeurs propres. Cette différence permet de caractériser la période de l’effet tunnel.

Dans ce séminaire je présenterai un travail en collaboration avec Oana Ivanovici. Nous considérons l’équation des ondes, avec conditions de Dirichlet, à l’extérieur d’un cylindre en dimension trois, nous construisons une parametrice globale et nous en déduisons des estimations dispersives optimales pour les solutions.

Je présenterai de nouvelles estimations d’observabilité pour des équations elliptiques non homogènes posées sur un domaine $\Omega$ en 2 D, avec observation sur un sous domaine $\omega$. Pour un potentiel $V$ borné à valeurs réelles, on démontre que le coût de l’observation de l’opérateur $-\Delta + V$ est de l’ordre de $\exp(\|V\|_\infty ^{1/2 + \epsilon})$. La méthode de preuve est inspirée d’un travail récent de Logunov, Malinnikova, Nadirashvili et Nazarov portant sur la conjecture de Landis. Je présenterai les trois grandes idées de la preuve : une construction de domaine perforé basée sur l’ensemble nodal de la solution pour se ramener à un domaine dont la constante de Poincaré est petite, une transformation quasi-conforme pour se ramener à une équation harmonique, et des estimations de Carleman conjuguées à des inégalités de Harnack. Enfin, je présenterai l’application de ces nouveaux résultats au contrôle d’équations elliptiques semi-linéaires, dans l’esprit des travaux de Fernandez-Cara et Zuazua concernant la contrôlabilité à zéro d’équations de la chaleur semi-linéaires. L’exposé sera basé sur un travail en commun avec Sylvain Ervedoza.